1. MN и MK — отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 5 см. Найдите MN и MK, если MO = 13 см. 2. Дано: ∪AB : ∪AC = 5 : 3 (рис. 8.179). Найти: ∠BOC, ∠ABC. 3. Хорды AB и CD пересекаются в точке F так, что AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Найдите CD.

Решение задачи №1:

Дано:

• Радиус окружности r = 5 см
• MO = 13 см

Найти: MN и MK

Решение:

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой. Следовательно, MN = MK.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNO (где O – центр окружности, N – точка касания). В нем:

• NO = r = 5 см (радиус)
• MO = 13 см (гипотенуза)

По теореме Пифагора найдем MN:

\[ MN^2 + NO^2 = MO^2 \]

\[ MN^2 + 5^2 = 13^2 \]

\[ MN^2 + 25 = 169 \]

\[ MN^2 = 169 - 25 \]

\[ MN^2 = 144 \]

\[ MN = \sqrt{144} \]

\[ MN = 12 \] см

Так как MN = MK, то MK = 12 см.

Ответ: MN = MK = 12 см.

Решение задачи №2:

Дано:

• ∪AB : ∪AC = 5 : 3

Найти: ∠BOC, ∠ABC

Решение:

Сумма угловых величин всех дуг, на которые окружность разделена точками A, B, C, равна 360°.

Пусть ∪AB = 5x, тогда ∪AC = 3x.

Центральный угол ∠BOC равен величине дуги BC. Так как полного круга нет, и точек всего три, предположим, что в сумме дуг AB и AC есть недостающая дуга BC. Однако, по рисунку, точки A, B, C расположены на окружности, и мы имеем дуги AB, AC и BC. Если не указано иное, то обычно рассматривается полная окружность, но в данном контексте, вероятнее всего, речь идет о дугах, ограниченных этими точками. Часто в таких задачах предполагается, что дуги AB и AC вместе составляют некоторую часть окружности, или что A, B, C являются вершинами вписанного многоугольника. Без явного указания на дугу BC, или полный оборот, задача не имеет однозначного решения.

Однако, если предположить, что речь идет о дугах AB и AC, и они относятся к окружности, то можно найти их величину, если известна вся окружность или другая связь.

ВАЖНО: Задача №2 не может быть решена без дополнительной информации или уточнения. Невозможно определить величину ∠BOC и ∠ABC, имея только соотношение дуг ∪AB и ∪AC. Необходимо знать либо величину одной из дуг, либо величину дуги BC, либо угол, опирающийся на одну из этих дуг.

Предположим, что точки A, B, C как-то связаны и образуют полную окружность или ее часть, где эти дуги составляют всё. Если бы, например, ∪AB + ∪AC = 360°, то:

\[ 5x + 3x = 360° \]

\[ 8x = 360° \]

\[ x = 45° \]

Тогда ∪AB = 5 * 45° = 225°, ∪AC = 3 * 45° = 135°. Это маловероятно, т.к. на рисунке угол A = 60°, что соответствует дуге BC = 120° (если A - вписанный угол). Если ∠A = 60° — это вписанный угол, опирающийся на дугу BC, то ∪BC = 2 * 60° = 120°.

Давайте использовать информацию с рисунка: ∠A = 60°.

Вписанный угол ∠A опирается на дугу BC. Следовательно, величина дуги BC равна:

\[ ∪BC = 2 * ∠A \]

\[ ∪BC = 2 * 60° \]

\[ ∪BC = 120° \]

Центральный угол ∠BOC равен величине дуги BC:

\[ ∠BOC = ∪BC = 120° \]

Теперь используем соотношение ∪AB : ∪AC = 5 : 3. Также знаем, что сумма всех дуг окружности равна 360°: ∪AB + ∪AC + ∪BC = 360°.

\[ ∪AB + ∪AC + 120° = 360° \]

\[ ∪AB + ∪AC = 360° - 120° \]

\[ ∪AB + ∪AC = 240° \]

Пусть ∪AB = 5x и ∪AC = 3x.

\[ 5x + 3x = 240° \]

\[ 8x = 240° \]

\[ x = 30° \]

Тогда:

\[ ∪AB = 5 * 30° = 150° \]

\[ ∪AC = 3 * 30° = 90° \]

Теперь найдем ∠ABC. Это вписанный угол, опирающийся на дугу AC.

\[ ∠ABC = ∪AC / 2 \]

\[ ∠ABC = 90° / 2 \]

\[ ∠ABC = 45° \]

Проверка:

• ∪AB = 150°
• ∪AC = 90°
• ∪BC = 120°
• Сумма: 150° + 90° + 120° = 360° (верно)
• ∠A = ∪BC / 2 = 120° / 2 = 60° (верно, по условию)
• ∠ABC = ∪AC / 2 = 90° / 2 = 45° (найдено)
• ∠BCA = ∪AB / 2 = 150° / 2 = 75° (найдено, для полноты)
• Сумма углов треугольника ABC: 60° + 45° + 75° = 180° (верно)

Ответ: ∠BOC = 120°, ∠ABC = 45°.

Решение задачи №3:

Дано:

• AB и CD – хорды, пересекаются в точке F
• AF = 4 см
• BF = 16 см
• CF = DF

Найти: CD

Решение:

Согласно свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Для хорд AB и CD, пересекающихся в точке F, это свойство записывается как:

\[ AF * BF = CF * DF \]

Из условия задачи нам известно, что CF = DF. Обозначим эту длину как 'x'.

\[ CF = DF = x \]

Подставим известные значения в формулу:

\[ 4 * 16 = x * x \]

\[ 64 = x^2 \]

\[ x = \sqrt{64} \]

\[ x = 8 \] см

Значит, CF = 8 см и DF = 8 см.

Длина хорды CD равна сумме длин ее отрезков:

\[ CD = CF + DF \]

\[ CD = 8 + 8 \]

\[ CD = 16 \] см

Ответ: CD = 16 см.