1. MN и МК - отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 5 см. Найдите МП и МК, если МО = 13 см. 2. Дано: С AB : AC=5 : 3 (см. рис.) Найти: <BOC, <ABC. 3. Окружность с центром О и радиусом 12 см описана около треугольника MNK так, что <MON = 120°, <NOK = 90°. Найдите стороны MN и NK треугольника.

1. Касательные к окружности

Дано:

• Радиус окружности $$r = 5$$ см.
• $$MO = 13$$ см.
• MN и MK — отрезки касательных.

Найти: MN и MK.

Решение:

1. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $$\angle MNO = \angle MKO = 90^{\circ}$$.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNO. По теореме Пифагора:
\[ MO^2 = MN^2 + NO^2 \] \[ 13^2 = MN^2 + 5^2 \] \[ 169 = MN^2 + 25 \] \[ MN^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ MN = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]
3. Так как MN и MK — отрезки касательных, проведенных из одной точки, то $$MN = MK$$.
\[ MK = 12 \text{ см} \]

Ответ: MN = 12 см, MK = 12 см.

2. Углы в треугольнике

Дано:

• $$AB : AC = 5 : 3$$

Найти: $$\angle BOC$$, $$\angle ABC$$.

Решение:

Для решения этой задачи необходим рисунок (рис. из задания). Предполагая, что точка O является центром окружности, и точки A, B, C лежат на окружности:

1. Угол BOC: Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Если бы нам был дан угол BAC (вписанный, опирающийся на ту же дугу), то $$\angle BOC = 2 \times \angle BAC$$. Без дополнительной информации или рисунка, невозможно определить $$\angle BOC$$ точно.
2. Угол ABC: Аналогично, без рисунка и дополнительных данных, определить $$\angle ABC$$ невозможно. Соотношение сторон AB и AC может указывать на пропорции, но не дает конкретных значений углов без других условий.

Примечание: Для точного решения необходимо предоставить изображение или дополнительные данные, связывающие углы и стороны.

3. Стороны треугольника, вписанного в окружность

Дано:

• Окружность с центром O и радиусом $$R = 12$$ см.
• Треугольник MNK вписан в окружность.
• $$\angle MON = 120^{\circ}$$
• $$\angle NOK = 90^{\circ}$$

Найти: Стороны MN и NK.

Решение:

1. Нахождение стороны MN: Треугольник MON является равнобедренным, так как $$OM = ON = R = 12$$ см. Используем теорему косинусов для нахождения MN:
\[ MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \times OM \times ON \times \cos(\angle MON) \] \[ MN^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \times 12 \times 12 \times \cos(120^{\circ}) \] \[ MN^2 = 144 + 144 - 2 \times 144 \times (-\frac{1}{2}) \] \[ MN^2 = 288 + 144 = 432 \] \[ MN = \sqrt{432} = \sqrt{144 \times 3} = 12\sqrt{3} \text{ см} \]
2. Нахождение стороны NK: Треугольник NOK является равнобедренным, так как $$ON = OK = R = 12$$ см. Используем теорему косинусов для нахождения NK:
\[ NK^2 = ON^2 + OK^2 - 2 \times ON \times OK \times \cos(\angle NOK) \] \[ NK^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \times 12 \times 12 \times \cos(90^{\circ}) \] \[ NK^2 = 144 + 144 - 2 \times 144 \times 0 \] \[ NK^2 = 288 \] \[ NK = \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12\sqrt{2} \text{ см} \]

Ответ: MN = $$12√3$$ см, NK = $$12√2$$ см.