1. Может ли каждый из трёх отрезков AB, BC и CA пересекать прямую a, не проходящую через точки A, B и C?

Пусть прямая a не проходит ни через одну из точек A, B, C. Тогда точки, лежащие по разные стороны от a, соединяет отрезок, пересекающий a.

Чтобы пересекались все три отрезка, точки A, B, C должны были бы попарно лежать по разные стороны прямой. Но у прямой только две стороны: среди трёх точек хотя бы две лежат по одну сторону. Отрезок между ними прямую a не пересекает.

Ответ: нет, каждый из трёх отрезков не может пересекать прямую a.