1. На диагонали AC параллелограмма ABCD отложены от её концов равные отрезки AE и CK. Докажите, что четырёхугольник BEDK — параллелограмм.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому BO = DO.

Так как E и K лежат на AC, а AE = CK, точка O, являющаяся серединой AC, также является серединой EK: отрезки AE и CK равны, значит середина AC — середина отрезка EK.

В четырёхугольнике BEDK диагонали — BD и EK. Они пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то он является параллелограммом.

Ответ: BEDK — параллелограмм.