1. На доске 100 × 100 расставлено 100 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что в правом верхнем и левом нижнем квадратах размером 50 × 50 расставлено равное число ладей.

Разобьём доску на четыре квадрата размером 50 × 50. Обозначим числа ладей в них так:

А — левый верхний, Б — правый верхний, В — левый нижний, Г — правый нижний.

Так как ладьи не бьют друг друга, в каждом ряду и каждом столбце стоит ровно по одной ладье. В верхних 50 рядах находится 50 ладей. В левых 50 столбцах также находится 50 ладей. Обе группы включают ладей из квадрата А, поэтому число ладей в Б равно числу ладей в В: из равенства «А + Б = 50» и «А + В = 50» следует «Б = В».

Ответ: в правом верхнем и левом нижнем квадратах находится равное число ладей.