1. На доске написаны числа 1,2,3, ..., 1013. Каждую минуту стираются какие-то два числа и записывается вместо них разность этих чисел. Так происходит до тех пор, пока не останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Решение:

Рассмотрим, как меняется сумма чисел на доске. Изначально на доске написаны числа от 1 до 1013. Их сумма равна:

\( S_{начальная} = \frac{1013 \cdot (1013 + 1)}{2} = \frac{1013 \cdot 1014}{2} = 1013 \cdot 507 = 513591 \)

Каждую минуту мы стираем два числа \(a\) и \(b\) и записываем вместо них \(a-b\) (или \(b-a\), результат будет аналогичным по четности). Сумма чисел изменится следующим образом: \( S_{новая} = S_{старая} - a - b + (a-b) = S_{старая} - 2b \). Это означает, что сумма чисел на доске при каждом шаге уменьшается на чётное число.

Следовательно, чётность суммы чисел на доске не меняется. Изначальная сумма \( 513591 \) — нечётное число.

Если бы в конце осталось одно число, равное нулю, то сумма чисел на доске была бы равна нулю (чётное число). Но, как мы показали, сумма всегда остаётся нечётной. Поэтому одно число не может равняться нулю.

Ответ: Нет, не может.