1. На конференции по искусственному интеллекту Кате подарили необычную рулетку. На одной стороне её ленты нанесены 7 внутренних отметок, делящих всю ленту на 8 равных частей. На другой стороне нанесены 17 внутренних отметок, делящих ту же ленту на 18 равных частей. Некоторые отметки с разных сторон могут располагаться друг напротив друга. Катя разрезала ленту поперёк по каждой отметке, нанесённой хотя бы на одной из сторон. Затем она разложила кусочки одинаковой длины — в одну коробку, а кусочки разной длины — в разные коробки. Сколько коробок ей понадобилось?

Обозначим длину всей ленты через 1. Отметки первой стороны находятся в точках с координатами \(\frac{1}{8},\frac{2}{8},\ldots,\frac{7}{8}\), а второй стороны — в точках \(\frac{1}{18},\frac{2}{18},\ldots,\frac{17}{18}\).

Приведём координаты к знаменателю 72:

• отметки первой стороны соответствуют числам, кратным 9;
• отметки второй стороны соответствуют числам, кратным 4.

С учётом концов ленты точки разрезов имеют координаты:

\(0,4,8,9,12,16,18,20,24,27,28,32,36,40,44,45,48,52,54,56,60,63,64,68,72\).

Длины соседних кусочков в единицах \(\frac{1}{72}\) равны:

\(4,4,1,3,4,2,2,4,3,1,4,4,4,4,1,3,4,2,2,4,3,1,4,4\).

Встречаются четыре различные длины: \(1,2,3,4\) части от \(\frac{1}{72}\) длины ленты. Значит, кусочки можно распределить по четырём коробкам.

Ответ: 4 коробки.