№ 1. На координатной плоскости постройте прямую М№ и отрезок KL, если М(-6; 3), N(6; -1), Κ(-4; 1), L(0; 5). Запишите координаты точек пересечения прямой М№ с построенным отрезком и осями координат.

Решение:

Для построения прямой MN и отрезка KL, а также нахождения точек пересечения, потребуется построить их на координатной плоскости. Так как построение выполняется вручную, здесь будет представлено описание точек и их пересечений.

1. Прямая MN:

Точки: M(-6; 3), N(6; -1).

Уравнение прямой MN можно найти, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки:

\[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]

Подставим координаты точек M и N:

\[ \frac{y - 3}{-1 - 3} = \frac{x - (-6)}{6 - (-6)} \]

\[ \frac{y - 3}{-4} = \frac{x + 6}{12} \]

Умножим обе стороны на -4:

\[ y - 3 = -\frac{1}{3}(x + 6) \]

\[ y - 3 = -\frac{1}{3}x - 2 \]

\[ y = -\frac{1}{3}x + 1 \]

2. Отрезок KL:

Точки: K(-4; 1), L(0; 5).

Уравнение прямой, проходящей через точки K и L:

\[ \frac{y - 1}{5 - 1} = \frac{x - (-4)}{0 - (-4)} \]

\[ \frac{y - 1}{4} = \frac{x + 4}{4} \]

Умножим обе стороны на 4:

\[ y - 1 = x + 4 \]

\[ y = x + 5 \]

3. Точки пересечения:

а) Пересечение прямой MN и отрезка KL:

Приравняем уравнения двух прямых:

\[ -\frac{1}{3}x + 1 = x + 5 \]

Умножим на 3:

\[ -x + 3 = 3x + 15 \]

\[ -12 = 4x \]

\[ x = -3 \]

Найдем y, подставив x = -3 в уравнение прямой KL:

\[ y = -3 + 5 = 2 \]

Координаты точки пересечения прямой MN и прямой, содержащей отрезок KL: (-3; 2).

Проверка: Убедимся, что точка (-3; 2) лежит на отрезке KL. Для этого x-координата (-3) должна быть между x-координатами K (-4) и L (0). Это условие выполняется. y-координата (2) должна быть между y-координатами K (1) и L (5). Это условие также выполняется.

б) Пересечение прямой MN с осями координат:

Пересечение с осью Oy (x=0):

\[ y = -\frac{1}{3}(0) + 1 = 1 \]

Координаты точки пересечения с осью Oy: (0; 1).

Пересечение с осью Ox (y=0):

\[ 0 = -\frac{1}{3}x + 1 \]

\[ \frac{1}{3}x = 1 \]

\[ x = 3 \]

Координаты точки пересечения с осью Ox: (3; 0).

в) Пересечение отрезка KL с осями координат:

Пересечение с осью Oy (x=0):

Из уравнения \( y = x + 5 \), при x=0, y=5. Это точка L: (0; 5).

Пересечение с осью Ox (y=0):

\[ 0 = x + 5 \]

\[ x = -5 \]

Координаты точки пересечения с осью Ox: (-5; 0). Однако, эта точка не принадлежит отрезку KL, так как x-координата -5 не находится в диапазоне [-4; 0].

Ответ:

• Точка пересечения прямой MN и отрезка KL: (-3; 2).
• Точки пересечения прямой MN с осями координат: (0; 1) и (3; 0).
• Точка пересечения отрезка KL с осью Oy: (0; 5).