1. На координатной прямой отмечены числа 0, a и b. Отметьте на этой прямой какое-нибудь число x так, чтобы при этом выполнялись три условия: x-a>0, x-b>0, abx < 0. 2. На координатной прямой отмечены числа a, b и c. Отметьте на этой прямой какое-нибудь число x так, чтобы при этом выполнялись три условия: -a+b>0, -x+b>0, x-c<0. 3. На координатной прямой отмечены числа 0, a и b. Отметьте на этой прямой какое-нибудь число x так, чтобы при этом выполнялись три условия: x-a>0, -x+b>0, abx < 0. 4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые задают эти функции. Графики: A), Б), В), Г). Формулы: 1) y = -3x + 3 2) y = 3x - 3 3) y = -1/3 x 4) y = 1/3 x. В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Задание 1: Числовые неравенства

Условие: На координатной прямой отмечены числа 0, a и b. Отметьте число x так, чтобы выполнялись условия: x - a > 0, x - b > 0, abx < 0.

Анализ условий:

• x - a > 0 означает, что x > a.
• x - b > 0 означает, что x > b.
• abx < 0 означает, что произведение a, b и x отрицательно.

Вывод:

Из первых двух условий следует, что x должно быть больше как a, так и b. Это означает, что x находится правее от обоих чисел a и b.

Рассмотрим третье условие abx < 0. Поскольку x должно быть положительным (так как оно правее 0, a или b, и мы ищем такое x, которое больше a и b, и предположим, что a и b могут быть положительными или отрицательными, но x должно быть больше их. Чтобы abx было отрицательным, произведение ab должно быть отрицательным (так как x предполагается положительным).

Если ab < 0, то числа a и b имеют разные знаки. Если a < 0 и b > 0, то x должно быть больше b (положительного числа) и больше a (отрицательного числа). Тогда abx < 0 будет выполняться. Пример: a = -2, b = 3. Условия: x > -2, x > 3, (-2)(3)x < 0 → x > 3, -6x < 0 → x > 0. Все условия выполняются, если x > 3. На координатной прямой это будет число правее b.

Если a > 0 и b < 0, то x должно быть больше a (положительного числа) и больше b (отрицательного числа). Но мы также должны иметь x > b. Если a больше 0, а b меньше 0, то x должно быть больше a. Чтобы abx < 0, мы имеем (положительное)(отрицательное)x < 0, что означает (отрицательное)x < 0. Это выполняется, если x > 0. В этом случае x > a и x > 0. Требуется, чтобы x > b. Если a > 0 и b < 0, то x > a подразумевает x > 0, а x > b всегда выполняется. Таким образом, x > a. Например, a = 3, b = -2. Условия: x > 3, x > -2, (3)(-2)x < 0 → x > 3, -6x < 0 → x > 0. Все условия выполняются, если x > 3. На координатной прямой это число правее a.

Итоговое размещение: Число x должно быть расположено правее как a, так и b, и произведение ab должно быть отрицательным (т.е. a и b имеют разные знаки). Следовательно, x находится правее большего из двух чисел a и b.

Задание 2: Числовые неравенства

Условие: На координатной прямой отмечены числа a, b и c. Отметьте число x так, чтобы выполнялись условия: -a + b > 0, -x + b > 0, x - c < 0.

Анализ условий:

• -a + b > 0 означает b > a.
• -x + b > 0 означает b > x.
• x - c < 0 означает x < c.

Вывод:

Мы имеем следующие соотношения:

• b > a
• b > x
• x < c

Соединяя эти неравенства, получаем: a < b, x < b, x < c. Это означает, что x должно быть меньше b и меньше c.

Чтобы найти положение x, мы должны учесть, что x < b и x < c. Если b больше c, то x должно быть меньше c. Если c больше b, то x должно быть меньше b. Однако, нам также сказано, что x < c. Следовательно, x находится левее b и левее c.

Итоговое размещение: Число x должно быть меньше b и меньше c. Положение a относительно b (a < b) также известно. Таким образом, x находится левее b и левее c.

Задание 3: Числовые неравенства

Условие: На координатной прямой отмечены числа 0, a и b. Отметьте число x так, чтобы выполнялись условия: x - a > 0, -x + b > 0, abx < 0.

Анализ условий:

• x - a > 0 означает x > a.
• -x + b > 0 означает b > x.
• abx < 0 означает, что произведение a, b и x отрицательно.

Вывод:

Из первых двух условий следует, что a < x < b. Это означает, что a должно быть меньше b, и x находится между a и b.

Теперь рассмотрим третье условие: abx < 0.

Случай 1: a < 0 и b > 0.

• Тогда ab < 0.
• Условие a < x < b означает, что x может быть отрицательным, положительным или нулем.
• Если x > 0, то abx = (отрицательное)(положительное)(положительное) < 0. Это верно.
• Если x < 0, то abx = (отрицательное)(положительное)(отрицательное) > 0. Это неверно.
• Если x = 0, то abx = 0. Это неверно.

Следовательно, если a < 0 и b > 0, то x должно быть положительным и находиться между a и b. Таким образом, x находится между 0 и b.

Случай 2: a > 0 и b < 0.

• Это противоречит условию a < x < b, поскольку a должно быть меньше b. Значит, этот случай невозможен.

Случай 3: a = 0 или b = 0.

• Если a = 0, то x > 0 и x < b. И 0 * b * x < 0, что невозможно.
• Если b = 0, то x > a и x < 0. И a * 0 * x < 0, что невозможно.

Итоговое размещение: Учитывая, что a < x < b и abx < 0, и что a и b должны иметь разные знаки (иначе abx не будет отрицательным, если x находится между ними и 0), мы приходим к выводу, что a < 0 и b > 0. Тогда x должно быть положительным, чтобы abx < 0. Следовательно, x находится между 0 и b.

Задание 4: Соответствие графиков и формул

Инструкция: Установите соответствие между графиками функций и формулами.

Графики:

• A) График представляет собой прямую, убывающую при увеличении x, проходящую через положительное значение y при x=0.
• Б) График представляет собой прямую, возрастающую при увеличении x, проходящую через отрицательное значение y при x=0.
• В) График представляет собой прямую, возрастающую при увеличении x, проходящую через точку (0,0).
• Г) График представляет собой прямую, убывающую при увеличении x, проходящую через точку (0,0).

Формулы:

• 1) y = -3x + 3: Это линейная функция. Коэффициент наклона -3 (отрицательный), значит, прямая убывает. Свободный член +3, значит, при x=0, y=3 (пересекает ось y в точке (0, 3)).
• 2) y = 3x - 3: Это линейная функция. Коэффициент наклона 3 (положительный), значит, прямая возрастает. Свободный член -3, значит, при x=0, y=-3 (пересекает ось y в точке (0, -3)).
• 3) y = -1/3 x: Это линейная функция. Коэффициент наклона -1/3 (отрицательный), значит, прямая убывает. Свободный член 0, значит, проходит через (0,0).
• 4) y = 1/3 x: Это линейная функция. Коэффициент наклона 1/3 (положительный), значит, прямая возрастает. Свободный член 0, значит, проходит через (0,0).

Соответствие:

• График A) (убывающая, пересекает ось Y в положительной точке) соответствует формуле 1) y = -3x + 3.
• График Б) (возрастающая, пересекает ось Y в отрицательной точке) соответствует формуле 2) y = 3x - 3.
• График В) (возрастающая, проходит через (0,0)) соответствует формуле 4) y = 1/3 x.
• График Г) (убывающая, проходит через (0,0)) соответствует формуле 3) y = -1/3 x.

Ответ в таблице: