№ 1. На медиане BM треугольника ABC взяли точку E так, что угол CEM равен углу ABM. Докажите, что отрезок CE равен одной из сторон треугольника.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC, поэтому AM = CM. Точки B, E и M лежат на одной прямой.

Обозначим ∠AMB = α. Поскольку лучи MA и MC противоположны, а лучи MB и ME совпадают, ∠CME = 180° − α. По условию ∠CEM = ∠ABM.

По сумме углов треугольников ABM и CEM получаем ∠BAM = ∠ECM. Значит, треугольники ABM и CEM подобны по двум углам, с соответствием A ↔ C, B ↔ E, M ↔ M.

Из подобия следует AB/CE = AM/CM = 1. Следовательно, AB = CE.

Ответ: CE = AB.