1. На медиане BM треугольника ABC взяли точку E так, что угол CEM равен углу ABM. Докажите, что отрезок EC равен одной из сторон треугольника.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC, поэтому AM = CM.

Точки B, E и M лежат на одной прямой, а точки A, M и C — на одной прямой. Поэтому углы AMB и CME равны: их стороны попарно лежат на одних прямых и направлены в противоположные стороны.

По условию ∠ABM = ∠CEM. Значит, треугольники ABM и CEM подобны по двум углам: B соответствует E, M соответствует M, A соответствует C. При этом соответствующие стороны AM и CM равны, следовательно, коэффициент подобия равен 1. Тогда соответствующие стороны AB и CE равны.

Ответ: EC = AB.