1. На окружности треугольника ABC проведены касательные. Докажите, что точки касания делят стороны треугольника на отрезки, равные.

Пусть касательные к окружности, вписанной в треугольник ABC, касаются сторон AB, BC, CA в точках P, M, N соответственно. Тогда AP = AN, BP = BM, CM = CN. Следовательно, точки касания делят стороны треугольника на отрезки, равные соответствующим отрезкам от вершин.