1. На отрезке AB взята точка K, а вне прямой AB — точки P и Q. Расстояния от точки K до точек A и P соответственно равны расстояниям от точки Q до точек K и B. Сумма расстояний от точки K до точек B и Q равна сумме расстояний от точки A до точек K и P. Известны углы: ∠PAK = 48° и ∠BQK = 32°. Найти величину угла PKQ.

Из первого условия получаем: \(KA=QK\) и \(KP=QB\).

По второму условию \(KB+KQ=AK+AP\). Так как \(KQ=AK\), вычитаем равные величины из обеих частей и получаем \(KB=AP\).

Следовательно, треугольники \(AKP\) и \(QKB\) равны по трём сторонам: \(AK=QK\), \(KP=QB\), \(AP=KB\). При соответствии вершин \(A\leftrightarrow Q\), \(K\leftrightarrow K\), \(P\leftrightarrow B\) равные треугольники должны иметь равные углы \(\angle PAK\) и \(\angle BQK\). Однако по условию эти углы равны соответственно 48° и 32°.

Ответ: условия противоречивы, такой конфигурации точек не существует; угол \(PKQ\) определить нельзя.