1. На плоскости отметили две точки A и B. Известно, что AB = 5. Найдите множество всех точек M таких, что AM² + BM² = 35. Чему равен радиус окружности, на которой лежат все такие точки M?

Выберем систему координат с началом в середине отрезка AB и осью абсцисс, проходящей через A и B. Тогда A(−2.5; 0), B(2.5; 0), а M(x; y).

По формуле расстояния:

\(AM^2=(x+2.5)^2+y^2\), \(BM^2=(x-2.5)^2+y^2\).

Подставим в условие и упростим:

\((x+2.5)^2+y^2+(x-2.5)^2+y^2=35\).

\(2x^2+2y^2+12.5=35\), поэтому \(x^2+y^2=11.25=\frac{45}{4}\).

Это уравнение окружности с центром в середине AB и радиусом \(R=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}\).

Ответ: \(R=\frac{3\sqrt{5}}{2}\).