1. На рис. 185 AD = DC, BD ⊥ AC, ∠BAE = ∠CAE, ∠AEC = 87°. Найдите углы треугольника ABC.

Решение:

В треугольнике ABC, AD = DC, BD ⊥ AC. Это значит, что BD — медиана и высота. Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с AB = BC.

Так как BD — медиана, AD = DC. Так как BD — высота, ∠BDA = 90°.

В треугольнике BDC: ∠BDC = 90°, ∠DBC = 90° - ∠C. (Неверно, так как мы не знаем, что ∠C = 90° - ∠DBC)

Рассмотрим треугольник AEC. ∠AEC = 87°. ∠EAC — это половина угла BAC, так как AE — биссектриса угла BAC (∠BAE = ∠CAE).

В треугольнике ABD: ∠BAD + ∠ABD = 90°.

В треугольнике BDC: ∠C + ∠DBC = 90°.

Так как AB = BC, то ∠BAC = ∠BCA = ∠C.

В треугольнике AEC: ∠EAC + ∠ACE + ∠AEC = 180°.

∠EAC + ∠C + 87° = 180°.

∠EAC + ∠C = 180° - 87° = 93°.

Поскольку ∠BAE = ∠CAE, то ∠BAC = 2 * ∠EAC.

В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

2 * ∠EAC + ∠ABC + ∠C = 180°.

Из треугольника BDC, ∠C + ∠CBD = 90°.

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD.

Из треугольника ABD: ∠ABD = 90° - ∠BAD = 90° - 2 * ∠EAC.

∠CBD = 90° - ∠C.

∠ABC = (90° - 2 * ∠EAC) + (90° - ∠C) = 180° - 2 * ∠EAC - ∠C.

Подставляем в основное уравнение треугольника ABC:

2 * ∠EAC + (180° - 2 * ∠EAC - ∠C) + ∠C = 180°.

2 * ∠EAC + 180° - 2 * ∠EAC - ∠C + ∠C = 180°.

180° = 180°. Это тождество, оно не помогает найти углы.

Давайте вернемся к ∠EAC + ∠C = 93°.

В треугольнике ABD: ∠BAD = ∠CAE (так как ∠BAE = ∠CAE). Пусть ∠CAE = x. Тогда ∠BAC = 2x.

В треугольнике ABC: ∠BAC = ∠BCA = 2x.

В треугольнике AEC: ∠EAC + ∠ACE + ∠AEC = 180°.

x + 2x + 87° = 180°.

3x = 180° - 87° = 93°.

x = 93° / 3 = 31°.

Значит, ∠EAC = 31°.

Углы треугольника ABC:

∠BAC = 2 * ∠EAC = 2 * 31° = 62°.

∠BCA = ∠BAC = 62° (так как треугольник равнобедренный).

∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠BCA) = 180° - (62° + 62°) = 180° - 124° = 56°.

Проверка: ∠AEC = 87°.

В треугольнике BDC: ∠CBD = 90° - ∠C = 90° - 62° = 28°.

∠ABC = 56°.

∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 56° - 28° = 28°.

В треугольнике ABD: ∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 28° = 62°.

Но ∠BAD = ∠BAC = 62°, и ∠CAE = 31°, ∠BAE = 31°. Это соответствует ∠BAC = 62°.

В треугольнике AEC: ∠EAC = 31°, ∠ACE = 62°, ∠AEC = 180° - 31° - 62° = 180° - 93° = 87°.

Все совпадает.

Ответ: ∠BAC = 62°, ∠ABC = 56°, ∠BCA = 62°.