1. На рис. 275 изображен развертку конуса, Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса. 2. Куча щебня имеет форму конуса, образующая которого равна 6 м, а угол между образующей и высотой этого конуса составляет 60°. Найдите объем щебня. 3. Образующая конуса равна 1 и образует с высотой конуса угол а. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса.

Решение задач

Задача 2:

• Дано: образующая $$l = 6$$ м, угол между образующей и высотой $$\alpha = 60^\circ$$.
• Найти: объем щебня (объем конуса).
• Решение:
• В прямоугольном треугольнике, образованном образующей, высотой и радиусом основания, найдем радиус $$r$$ и высоту $$h$$:
• $$r = l \cdot \sin(\alpha) = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$ м.
• $$h = l \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$ м.
• Объем конуса вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$.
• $$V = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi (27) \cdot 3 = 27\pi$$ м³.

Ответ: 27$$\pi$$ м³.

Задача 3:

• Дано: образующая $$l = 1$$, угол между образующей и высотой $$\alpha$$.
• Найти: площадь боковой поверхности ($$S_{бок}$$) и объем конуса ($$V$$).
• Решение:
• Радиус основания $$r = l \cdot \sin(\alpha) = 1 \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha)$$.
• Высота конуса $$h = l \cdot \cos(\alpha) = 1 \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha)$$.
• Площадь боковой поверхности конуса: $$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \sin(\alpha) \cdot 1 = \pi \sin(\alpha)$$.
• Объем конуса: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\sin(\alpha))^2 \cdot \cos(\alpha) = \frac{1}{3} \pi \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)$$.

Ответ: $$S_{бок} = \pi \sin(\alpha)$$, $$V = \frac{1}{3} \pi \sin^2(\alpha) \cos(\alpha)$$.

Задача 1: Для решения задачи 1 необходимо знать радиус основания конуса (r) и его высоту (h) или образующую (l) из рис. 275, которые не представлены на изображении.