1. На рисунке 1 ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей. Выразите через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\) векторы: а) \(\overrightarrow{BD}\); \(\overrightarrow{AO}\); б) \(\overrightarrow{BM}\); \(\overrightarrow{DM}\), где M — точка на стороне BC такая, что MB:MC=3:2; в) \(\overrightarrow{KM}\), где K — точка на стороне AD, такая, что AK:KD=1:3; г) \(\overrightarrow{MN}\), где N — точка на диагонали AC, такая, что ON=NC.

Положим начало координат в точке A. Тогда радиус-векторы вершин параллелограмма: \(A=\vec 0\), \(B=\vec a\), \(D=\vec b\), \(C=\vec a+\vec b\). Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(O=\frac{\vec a+\vec b}{2}\).

а)

\(\overrightarrow{BD}=D-B=\vec b-\vec a\).

\(\overrightarrow{AO}=O-A=\frac{\vec a+\vec b}{2}\).

б) Из отношения \(MB:MC=3:2\) следует, что M делит BC в отношении \(BM:MC=3:2\), отсчитываемом от B. Поэтому \(M=B+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}=\vec a+\frac{3}{5}\vec b\).

\(\overrightarrow{BM}=M-B=\frac{3}{5}\vec b\).

\(\overrightarrow{DM}=M-D=\vec a-\frac{2}{5}\vec b\).

в) Из \(AK:KD=1:3\) получаем \(K=A+\frac14\overrightarrow{AD}=\frac14\vec b\). Тогда

\(\overrightarrow{KM}=M-K=\vec a+\frac{3}{5}\vec b-\frac14\vec b=\vec a+\frac{7}{20}\vec b\).

г) Так как O — середина AC, равенство \(ON=NC\) означает, что N — середина отрезка OC. Следовательно, \(N=O+\frac12\overrightarrow{OC}=\frac34(\vec a+\vec b)\).

\(\overrightarrow{MN}=N-M=\frac34(\vec a+\vec b)-\left(\vec a+\frac35\vec b\right)=-\frac14\vec a+\frac{3}{20}\vec b\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a\), \(\overrightarrow{AO}=\frac{\vec a+\vec b}{2}\); б) \(\overrightarrow{BM}=\frac35\vec b\), \(\overrightarrow{DM}=\vec a-\frac25\vec b\); в) \(\overrightarrow{KM}=\vec a+\frac7{20}\vec b\); г) \(\overrightarrow{MN}=-\frac14\vec a+\frac3{20}\vec b\).