№ 1. На рисунке 1 плоскости α и β пересекаются по прямой EF. Прямая AB лежит в плоскости α. В плоскости β через точку C проведите прямую так, чтобы она: 1) пересекала прямую AB; 2) была скрещивающейся с прямой AB; 3) была параллельна прямой AB.

На рисунке 1 точка C не обозначена, поэтому для построений принимаем, что C — точка плоскости β, не лежащая на EF. Прямая AB пересекает EF в точке B.

1) Проведём через C прямую, параллельную AB. Она пересечёт AB в точке B, поскольку через B проходит единственная прямая, параллельная AB, — сама AB; однако эта прямая лежит в α, а не в β. Поэтому для пересечения AB возьмём прямую CB в плоскости β: она проходит через B и C и пересекает AB в B.

2) Через C в плоскости β проведём прямую, параллельную EF. Она не пересекает AB: AB пересекает EF только в B, а выбранная прямая проходит через C, не совпадающую с B. Эти прямые не параллельны и не пересекаются, значит, они скрещиваются.

3) Прямая в β, параллельная AB, должна быть параллельна линии пересечения плоскостей EF: направления параллельных прямых, лежащих в α и β, совпадают с направлением EF. Поэтому через C проводим прямую, параллельную EF.

Ответ: 1) прямая CB; 2) через C прямая, параллельная EF; 3) через C прямая, параллельная EF. Условия 2 и 3 дают одну и ту же прямую.