1. На рисунке 1 плоскости α и β пересекаются по прямой EF. Прямая AB лежит в плоскости α. В плоскости β через точку C проведите прямую так, чтобы она: 1) пересекала прямую AB; 2) была скрещивающейся с прямой AB; 3) была параллельна прямой AB.

Пусть плоскости α и β пересекаются по EF, причём точка B лежит на EF, как показано на рисунке. Поэтому прямая AB пересекает плоскость β в точке B.

1) Прямая, пересекающая AB. Проведём CB: она лежит в β и пересекает AB в точке B.

2) Прямая, скрещивающаяся с AB. В β через C проводим прямую, параллельную EF, и обозначаем её l. Она не параллельна AB и не пересекает AB: единственная точка AB в плоскости β — B, а l через B не проходит. Значит, AB и l — скрещивающиеся прямые.

На схеме прямая l изображена в плоскости β; её направление совпадает с EF, а AB не параллельна EF.

3) Прямая, параллельная AB. Такую прямую в β провести нельзя. Если бы прямая через C в β была параллельна AB, то из AB ∩ β = {B} следовало бы, что AB параллельна плоскости β или лежит в ней. Но AB пересекает β в B и не лежит в β. Следовательно, условие пункта 3 невыполнимо.

Ответ: 1) CB; 2) через C прямая, параллельная EF; 3) провести невозможно.