1. На рисунке 11 AB=BC, AK=KC, ∠AKE=∠PKC. Докажите, что ΔAKE = ΔKPC. 2. На рисунке 12 AB=BC и AD=DC. Докажите, что BD — биссектриса угла ABC.

Задание 1: Доказательство равенства треугольников ΔAKE и ΔKPC

Дано:

• На рисунке 11: AB=BC, AK=KC, ∠AKE=∠PKC.

Доказать: ΔAKE = ΔKPC.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ΔAKE и ΔKPC.
2. По условию задачи нам дано:
• AK = KC (по условию).
• ∠AKE = ∠PKC (по условию, это вертикальные углы).
• AB = BC (по условию).
3. Вспомним признаки равенства треугольников. Один из них — по двум сторонам и углу между ними (СУС).

   У нас есть две стороны AK и KC, а также угол ∠AKE. Но угол ∠PKC не является углом между сторонами AK и KC в треугольнике ΔKPC. Поэтому признак СУС здесь не подходит напрямую.

   Важно: Условие AB=BC означает, что треугольник ΔABC — равнобедренный. Это может помочь, но напрямую не используется в доказательстве равенства ΔAKE и ΔKPC, если использовать только данные про углы и стороны.

4. Проверим, нет ли другой информации. Дано ∠AKE=∠PKC. Это значит, что эти углы равны.
5. Но давайте перечитаем условие очень внимательно. Нас просят доказать равенство ΔAKE и ΔKPC. В условии написано ∠AKE=∠PKC. Эти углы действительно равны (вертикальные).
6. Если мы посмотрим на треугольник ΔABC, то AK = KC. Это значит, что точка K — середина стороны AC.
7. Однако, у нас есть AK=KC, ∠AKE=∠PKC. Для равенства треугольников нам нужна третья пара равных элементов.
8. Пересмотрим изображение. На рисунке 11 изображен равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). AK=KC. Угол ∠AKE = ∠PKC. Треугольники ΔAKE и ΔKPC.
9. Признак равенства треугольников:
   • По двум сторонам и углу между ними (СУС): у нас есть AK=KC и ∠AKE=∠PKC. Но это не углы между сторонами AK и AE, или KC и KP.
   • По стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ): не подходит.
   • По трём сторонам (ССС): не подходит.
10. Анализ данных:
    • AK = KC (по условию)
    • ∠AKE = ∠PKC (вертикальные углы, по условию)
    • Если AB = BC, то ΔABC — равнобедренный.
11. Вывод для первого задания: На основе данных AK=KC и ∠AKE=∠PKC, а также того, что AB=BC, мы не можем напрямую доказать равенство ΔAKE и ΔKPC по стандартным признакам, если не предполагать, что AE=PC или ∠EAK=∠CPK, что не дано. Вероятно, в условии или на рисунке есть недосказанность или неточность, которая делает задачу нерешаемой в общем случае. Тем не менее, если предположить, что E лежит на AB и P лежит на BC, и по условию AK=KC, ∠AKE=∠PKC, и AB=BC, то равенство ΔAKE=ΔKPC возможно только при дополнительных условиях, например, если AE=PC. Без этого доказать равенство невозможно.

Задание 2: Доказательство, что BD — биссектриса угла ABC

Дано:

• На рисунке 12: AB=BC, AD=DC.

Доказать:

• BD — биссектриса угла ABC.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔCBD.
2. По условию задачи нам дано:
• AB = BC (треугольник ΔABC равнобедренный).
• AD = DC (по условию).
• Сторона BD является общей для обоих треугольников (BD = BD).
3. Итак, мы имеем три пары равных сторон у двух треугольников:
• AB = BC
• AD = DC
• BD = BD
4. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам — ССС), треугольники ΔABD и ΔCBD равны.
5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, угол ∠ABD равен углу ∠CBD (∠ABD = ∠CBD).
6. Биссектриса угла — это луч, который делит этот угол на два равных угла. Так как ∠ABD = ∠CBD, то отрезок BD является биссектрисой угла ABC.

Что и требовалось доказать.