1. На рисунке 19 a ∥ b ∥ c и не лежат в одной плоскости. AB ∥ A₁B₁, BC ∥ B₁C₁. Докажите, что AC = A₁C₁.

Проведём плоскость через параллельные прямые a и b. Она пересекает прямую c в точке, обозначим её D. В этой плоскости AB и A₁B₁ являются параллельными отрезками, а AD и A₁D лежат на параллельных прямых a и c. Поэтому четырёхугольник ABA₁B₁ в соответствующей плоскости? Вместо этого применим параллельность пространственных прямых напрямую.

Так как AB ∥ A₁B₁ и BC ∥ B₁C₁, углы между направлениями соответствующих отрезков совпадают. Для вывода о равенстве длин рассмотрим векторы: по рисунку A,B,C и A₁,B₁,C₁ образуют два треугольника, стороны которых попарно параллельны. Однако параллельность сторон сама по себе не гарантирует равенства длин. В условии не указано, что AB = A₁B₁ или BC = B₁C₁; поэтому утверждение в общем случае не следует из данных.

Например, можно сохранить все три прямые параллельными и сдвинуть точки A₁,B₁,C₁ по этим прямым так, чтобы AB ∥ A₁B₁ и BC ∥ B₁C₁, но длина A₁C₁ отличалась от AC. Для доказательства необходим дополнительный факт, например AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁ вместе с согласованным расположением, либо условие о переносе одного треугольника в другой.

Ответ: из приведённых условий равенство AC = A₁C₁ доказать нельзя; не хватает дополнительного условия.