1. На рисунке 44 О — центр окружности. Через концы отрезка АВ проведены прямые AD и ВС, перпендикулярные к прямой АВ. Докажите, что ∠ADO=∠OCB. 2. Два прямоугольных треугольника ABC и ABD имеют общую гипотенузу АВ и лежат по разные стороны от нее. Известно, что AD = BC. Докажите, что ∠САВ = ∠DBA.

1. Доказательство, что ∠ADO = ∠OCB:

1. Так как AD ⊥ AB и BC ⊥ AB, то AD || BC (прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны).
2. AD и BC — параллельные хорды, на которые опирается центральный угол ∠AOD и вписанный угол ∠OCB.
3. По свойству параллельных хорд, дуги, заключенные между ними, равны. Следовательно, дуга AD равна дуге BC.
4. Центральный угол ∠AOD равен дуге AD, а вписанный угол ∠OCB равен половине дуги OB.
5. Так как дуга AD = дуга BC, то и соответствующие центральные углы равны.
6. Центральный угол ∠AOD равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу, что и ∠AOD.
7. ∠AOD — центральный угол. Его величина равна мере дуги AD.
8. ∠OCB — вписанный угол, опирающийся на дугу OB.
9. Из параллельности AD || BC следует, что дуга AC = дуга BD.
10. ∠ADO и ∠OCB — углы, опирающиеся на дуги, которые связаны с параллельными хордами.
11. Рассмотрим треугольник ADO. OA = OD (радиусы), значит, он равнобедренный. \( \angle OAD = \angle ODA \).
12. Рассмотрим треугольник OCB. OC = OB (радиусы), значит, он равнобедренный. \( \angle OCB = \angle OBC \).
13. Так как AD || BC, то ∠OAD = ∠OBC (накрест лежащие углы при пересечении секущей AB параллельных прямых AD и BC).
14. Следовательно, \( \angle ODA = \angle OCB \).

2. Доказательство, что ∠САВ = ∠DBA:

1. Рассмотрим треугольники ABC и ABD.
2. У них общая гипотенуза AB.
3. Дано, что AD = BC.
4. Рассмотрим треугольники ABC и BAD:
• AB — общая сторона.
• BC = AD (по условию).
• \( \angle ACB = \angle ADB = 90^{\circ} \) (по условию, треугольники прямоугольные).
5. Следовательно, треугольники ABC и BAD равны по гипотенузе и катету (по второму признаку равенства прямоугольных треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны.
7. \( \angle CAB = \angle DBA \).

Ответ: 1. Доказано, что ∠ADO = ∠OCB. 2. Доказано, что ∠САВ = ∠DBA.