1. На рисунке 48 изображён график функции y = f(x), областью определения которой является промежуток [-7; 8]. Найдите: а) нули функции; б) наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, которым они соответствуют; в) промежутки монотонности функции; г) промежутки знакопостоянства; д) множество значений функции.

Решение:

По графику функции определим:

а) Нули функции:

Нули функции — это значения аргумента x, при которых значение функции y равно 0. На графике это точки пересечения с осью Ox.

• \( x = -5 \)
• \( x = 1 \)
• \( x = 7 \)

б) Наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, которым они соответствуют:

Наибольшее значение функции — самая высокая точка графика, наименьшее — самая низкая.

• Наибольшее значение \( y_{max} = 4 \) достигается при \( x = -3 \).
• Наименьшее значение \( y_{min} = -4 \) достигается при \( x = 4 \).

в) Промежутки монотонности функции:

Функция возрастает, когда график идёт вверх слева направо, и убывает, когда идёт вниз.

• Функция возрастает на промежутках: \( [-5; -3] \) и \( [1; 4] \).
• Функция убывает на промежутках: \( [-7; -5] \), \( [-3; 1] \) и \( [4; 8] \).

г) Промежутки знакопостоянства:

Промежутки знакопостоянства — это промежутки, где функция положительна (выше оси Ox) или отрицательна (ниже оси Ox).

• Функция положительна ( \( y > 0 \) ) на промежутках: \( (-5; 1) \) и \( (7; 8] \).
• Функция отрицательна ( \( y < 0 \) ) на промежутках: \( [-7; -5) \) и \( (1; 7) \).

д) Множество значений функции:

Множество значений функции — это все возможные значения y, которые принимает функция на заданном промежутке определения. Это диапазон от минимального до максимального значения y.

• Множество значений функции: \( [-4; 4] \).

Ответ: а) -5, 1, 7; б) y_max = 4 при x = -3, y_min = -4 при x = 4; в) возрастает на [-5; -3] и [1; 4], убывает на [-7; -5], [-3; 1] и [4; 8]; г) y > 0 на (-5; 1) и (7; 8], y < 0 на [-7; -5) и (1; 7); д) [-4; 4].