1. На рисунке 64 точка О центр окружности, <MON = 68°. Найдите угол МKN. 2. К окружности с центром Опроведена касательная АВ (А - точка касания). Найдите радиус окружности, если ОВ = 10 см и ∠ABO = 30°.

1. Нахождение угла МKN

Угол MON является центральным углом, опирающимся на дугу MN. Угол MKN является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу MN.

По свойству вписанного угла, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

\[ \angle MKN = \frac{1}{2} \angle MON \]

Подставляем данное значение:

\[ \angle MKN = \frac{1}{2} \times 68^{\circ} = 34^{\circ} \]

Ответ: 34°

2. Нахождение радиуса окружности

Дано:

• Окружность с центром О.
• Касательная AB, А - точка касания.
• OB = 10 см.
• \[ \angle ABO = 30^{\circ} \]

Решение:

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \(\inOAB\) является прямоугольным треугольником с прямым углом A.

\(\inOAB\) - прямоугольный треугольник, \(\inOAB\) = 90°.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

В нашем случае, катет OA (радиус окружности) лежит против угла \(\inABO\) = 30°, а гипотенуза OB = 10 см.

Таким образом:

\[ OA = \frac{1}{2} OB \]

\[ OA = \frac{1}{2} \times 10 \text{ см} = 5 \text{ см} \]

Ответ: 5 см