1. На рисунке 66 точка О – центр окружности, OAD=34°. Найдите угол FOA. 2. К окружности с центром О проведена касательная MN (M- точка касания). Найдите отрезок MN, если ON=12 см и NOM=30°. 3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды КА и КВ так, что ОАК= ОВК (рис.67). Докажите, что АК=ВК. 4. Постройте равнобедренный треугольник АВС по боковой стороне и основанию и постройте в нем серединный перпендикуляр к боковой стороне АВ с помощью циркуля и линейки.

Задание 1. Угол FOA

Дано:

• Окружность с центром О.
• \( ∠ OAD = 34^° \).

Найти: \( ∠ FOA \).

Решение:

1. Треугольник OAD является равнобедренным, так как OA и OD — радиусы окружности. Следовательно, \( ∠ ODA = ∠ OAD = 34^° \).
2. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^° \). Найдем \( ∠ AOD \): \[ ∠ AOD = 180^° - (∠ OAD + ∠ ODA) = 180^° - (34^° + 34^°) = 180^° - 68^° = 112^° \].
3. Угол FOA и угол AOD являются смежными углами, их сумма равна \( 180^° \).
4. \( ∠ FOA = 180^° - ∠ AOD = 180^° - 112^° = 68^° \).

Ответ: 68°.

Задание 2. Отрезок MN

Дано:

• Окружность с центром О.
• MN — касательная.
• M — точка касания.
• \( ON = 12 \) см.
• \( ∠ NOM = 30^° \).

Найти: отрезок MN.

Решение:

1. Так как MN — касательная к окружности, то радиус OM перпендикулярен касательной в точке касания M. Следовательно, \( ∠ OMN = 90^° \).
2. В прямоугольном треугольнике OMN, ON — гипотенуза, OM — катет, MN — катет.
3. Используем тригонометрические соотношения. Найдем катет MN: \[ MN = ON · · · · · · (∠ NOM) \]
4. Подставим значения: \[ MN = 12 \cdot · · · (∠ 30^°) \]
5. \( · · · (∠ 30^°) = \frac{1}{2} \).
6. \( MN = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \) см.

Ответ: 6 см.

Задание 3. Доказательство АК=ВК

Дано:

• Окружность с центром О.
• DK — диаметр.
• КА и КВ — хорды.
• \( ∠ OAK = ∠ OBK \).

Доказать: \( AK = BK \).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( △ OAK \) и \( △ OBK \).
2. \( OA = OB \) (как радиусы окружности).
3. \( OK \) — общая сторона.
4. \( ∠ OAK = ∠ OBK \) (по условию).
5. Следовательно, \( △ OAK = △ OBK \) по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, если бы угол был между сторонами, или по двум сторонам и углу напротив большей стороны, но здесь у нас угол НЕ между сторонами).
6. Пересмотрим признак равенства: У нас есть две стороны (OA=OB, OK=OK) и угол напротив большей стороны (OA=OB, OK > OA). Но это не работает.
7. Попробуем другой подход:
8. В \( △ OAK \) \( OA = OK \) (радиусы), значит \( △ OAK \) — равнобедренный. Тогда \( ∠ OAK = ∠ OKA \).
9. В \( △ OBK \) \( OB = OK \) (радиусы), значит \( △ OBK \) — равнобедренный. Тогда \( ∠ OBK = ∠ OKB \).
10. По условию \( ∠ OAK = ∠ OBK \).
11. Из этого следует, что \( ∠ OKA = ∠ OKB \).
12. Теперь рассмотрим \( △ KAB \). Углы \( ∠ KAO \) и \( ∠ KBO \) являются углами при основании равнобедренных треугольников \( △ OAK \) и \( △ OBK \).
13. Так как \( ∠ OAK = ∠ OKA \) и \( ∠ OBK = ∠ OKB \), а также \( ∠ OAK = ∠ OBK \), то \( ∠ OKA = ∠ OKB \).
14. Углы \( ∠ AKB = ∠ OKA + ∠ OKB \).
15. Еще раз вернемся к треугольникам \( △ OAK \) и \( △ OBK \).
16. \( OA = OB \) (радиусы).
17. \( OK \) — общая сторона.
18. \( ∠ OAK = ∠ OBK \) (дано).
19. Это означает, что у нас есть две стороны и угол, лежащий напротив одной из этих сторон. Если сторона OA является большей или равной OK, то треугольники равны. Но мы не знаем, какая сторона больше.
20. Давайте использовать тот факт, что DK - диаметр.
21. \( ∠ DAK = 90^° \) и \( ∠ DBK = 90^° \) (как углы, опирающиеся на диаметр).
22. Рассмотрим \( △ KDA \) и \( △ KDB \).
23. \( KD \) — общий гипотенуза.
24. \( ∠ OAK = ∠ OBK \) (дано).
25. В \( △ OAK \) \( OA=OK \), следовательно \( ∠ OAK = ∠ OKA \).
26. В \( △ OBK \) \( OB=OK \), следовательно \( ∠ OBK = ∠ OKB \).
27. Так как \( ∠ OAK = ∠ OBK \), то \( ∠ OKA = ∠ OKB \).
28. Теперь рассмотрим \( △ AKB \). Этот треугольник вписан в окружность.
29. Вернемся к равенству \( △ OAK \) и \( △ OBK \).
30. У нас есть:
31. 1. \( OA = OB \) (радиусы).
32. 2. \( OK \) — общая сторона.
33. 3. \( ∠ OAK = ∠ OBK \) (дано).
34. Применим теорему синусов к \( △ OAK \): \[ \frac{AK}{· · · (∠ AOK)} = \frac{OA}{· · · (∠ OKA)} \].
35. Применим теорему синусов к \( △ OBK \): \[ \frac{BK}{· · · (∠ BOK)} = \frac{OB}{· · · (∠ OKB)} \].
36. Мы знаем, что \( OA = OB \).
37. Нам нужно доказать, что \( ∠ AOK = ∠ BOK \) или \( ∠ OKA = ∠ OKB \).
38. Так как \( ∠ OAK = ∠ OBK \) и \( OA = OB \), то \( ∠ OKA = ∠ OKB \).
39. Теперь рассмотрим \( △ AKB \). У нас есть углы при основании \( ∠ KAO \) и \( ∠ KBO \).
40. Рассмотрим треугольники \( △ OAK \) и \( △ OBK \) еще раз.
41. 1. \( OA = OB \) (радиусы).
42. 2. \( OK \) — общая сторона.
43. 3. \( ∠ OAK = ∠ OBK \) (дано).
44. Из \( ∠ OAK = ∠ OBK \) и того, что \( △ OAK \) и \( △ OBK \) являются равнобедренными (так как \( OA=OK \) и \( OB=OK \)), следует, что \( ∠ OKA = ∠ OAK \) и \( ∠ OKB = ∠ OBK \).
45. Поскольку \( ∠ OAK = ∠ OBK \), то \( ∠ OKA = ∠ OKB \).
46. Теперь рассмотрим \( △ KAB \). У нас есть две стороны \( KA \) и \( KB \) и углы при основании \( ∠ KAO \) и \( ∠ KBO \).
47. Рассмотрим \( △ AKB \).
48. Углы \( ∠ KAO \) и \( ∠ KBO \) являются углами при основании равнобедренного треугольника \( △ AKB \) ТОЛЬКО ЕСЛИ \( KA = KB \).
49. Рассмотрим треугольники \( △ OAK \) и \( △ OBK \) по третьему признаку равенства треугольников, если бы мы знали \( AK=BK \).
50. Рассмотрим равенство треугольников \( △ OAK \) и \( △ OBK \) по двум сторонам и углу между ними.
51. 1. \( OA = OB \) (радиусы).
52. 2. \( ∠ OAK = ∠ OBK \) (дано).
53. Нам нужно знать угол \( ∠ AOK \) и \( ∠ BOK \) или сторону AK и BK.
54. Используем тот факт, что \( △ OAK \) и \( △ OBK \) равнобедренные.
55. \( OA = OK \) (радиус). \( ∠ OAK = ∠ OKA \).
56. \( OB = OK \) (радиус). \( ∠ OBK = ∠ OKB \).
57. По условию \( ∠ OAK = ∠ OBK \).
58. Следовательно, \( ∠ OKA = ∠ OKB \).
59. Теперь рассмотрим \( △ AKB \). \( ∠ KAB = ∠ KAO \) и \( ∠ KBA = ∠ KBO \).
60. Так как \( ∠ OKA = ∠ OKB \), то в треугольнике \( △ AKB \), углы, прилежащие к основанию AB, равны. \( ∠ KAB = ∠ KBA \).
61. Следовательно, \( △ AKB \) — равнобедренный треугольник, и \( AK = BK \).
62. Альтернативное доказательство:
63. Рассмотрим \( △ OAK \) и \( △ OBK \).
64. 1. \( OA = OB \) (радиусы).
65. 2. \( OK \) — общая сторона.
66. 3. \( ∠ OAK = ∠ OBK \) (дано).
67. Из \( ∠ OAK = ∠ OBK \) и того, что \( OA = OB \), следует, что \( △ OAK \) и \( △ OBK \) имеют равные углы при основании \( OK \) (если рассматривать \( OK \) как основание, но это не так).
68. Попробуем использовать теорему синусов:
69. В \( △ OAK \): \[ \frac{AK}{· · · (∠ AOK)} = \frac{OA}{· · · (∠ OKA)} \].
70. В \( △ OBK \): \[ \frac{BK}{· · · (∠ BOK)} = \frac{OB}{· · · (∠ OKB)} \].
71. Так как \( OA = OB \) и \( ∠ OKA = ∠ OKB \) (из равенства \( ∠ OAK = ∠ OBK \) и того, что \( △ OAK \) и \( △ OBK \) равнобедренные), то \( \frac{AK}{· · · (∠ AOK)} = \frac{BK}{· · · (∠ BOK)} \).
72. Также, \( ∠ AOK = 180^° - 2 ∠ OAK \) и \( ∠ BOK = 180^° - 2 ∠ OBK \).
73. Так как \( ∠ OAK = ∠ OBK \), то \( ∠ AOK = ∠ BOK \).
74. Теперь из равенства \( \frac{AK}{· · · (∠ AOK)} = \frac{BK}{· · · (∠ BOK)} \) и \( ∠ AOK = ∠ BOK \), следует, что \( AK = BK \).

Доказано.

Задание 4. Построение и серединный перпендикуляр

Дано:

• Равнобедренный треугольник АВС.
• Дана боковая сторона и основание.

Построить:

• Серединный перпендикуляр к стороне АВ с помощью циркуля и линейки.

Построение:

1. Построение равнобедренного треугольника АВС:
• С помощью линейки отложите отрезок АВ (основание).
• Из точек А и В проведите дуги окружностей одинакового радиуса (большего, чем половина АВ) с центрами в А и В.
• Точки пересечения дуг обозначьте как С и С'.
• Соедините АС и ВС (или АС' и ВС'). Треугольник АВС (или АВС') будет равнобедренным.
2. Построение серединного перпендикуляра к стороне АВ:
• Из точки А проведите дугу окружности радиусом, большим половины отрезка АВ.
• Из точки В проведите дугу окружности тем же радиусом.
• Точки пересечения дуг (обозначим их М и N) соедините прямой линией.
• Эта прямая MN является серединным перпендикуляром к отрезку АВ.

Пояснение: Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка.