1. На рисунке 66 точка О – центр окружности, ∠QAD = 44°. Найдите угол FOA. 2. К окружности с центром О проведена касательная MN (M – точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 8 см и ∠NOM = 30°.

Давай разбираться с задачками по геометрии!

Задача 1: Угол FOA

1. Что дано? Нам дана окружность с центром в точке О. Угол ∠QAD = 44°.
2. Что нужно найти? Угол ∠FOA.
3. Как будем решать? На рисунке видно, что ∠QAD — это вписанный угол, который опирается на дугу FD. Центральный угол ∠FOA также опирается на эту дугу FD.
4. Свойство углов: Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше вписанного угла.
5. Расчет: ∠FOA = 2 * ∠QAD = 2 * 44° = 88°.

Ответ: Угол ∠FOA равен 88°.

Задача 2: Отрезок MN

1. Что дано? Окружность с центром О. Касательная MN к окружности в точке М. ON = 8 см. Угол ∠NOM = 30°.
2. Что нужно найти? Длину отрезка MN.
3. Как будем решать? Мы знаем, что радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Значит, ∠OMN = 90°. У нас есть прямоугольный треугольник ΔOMN.
4. Что известно о треугольнике ΔOMN?
• Угол ∠OMN = 90° (радиус перпендикулярен касательной).
• Угол ∠NOM = 30° (дано).
• Сторона ON = 8 см (гипотенуза, так как лежит напротив прямого угла).
• Нам нужно найти сторону MN (катет).
5. Тригонометрия в помощь! В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
6. Расчет:
• \[ \sin(\angle NOM) = \frac{MN}{ON} \]
• \[ \sin(30°) = \frac{MN}{8} \]
• Знаем, что \[ \sin(30°) = \frac{1}{2} \]
• \[ \frac{1}{2} = \frac{MN}{8} \]
• Чтобы найти MN, умножим обе стороны на 8:
• \[ MN = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \]

Ответ: Длина отрезка MN равна 4 см.