1. На рисунке 68 точка О – центр окружности, ∠BOC = 40°. Найдите угол OBD. 2. К окружности с центром О проведена касательная FK (К – точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окружности равен 14 см и ∠FOK = 45°.

Решение:

1. Нахождение угла OBD:

1. В треугольнике BOC, OB и OC являются радиусами окружности, поэтому треугольник BOC – равнобедренный.
2. Угол BOC равен 40°. Так как треугольник равнобедренный, углы OBC и OCB равны:

   \[ \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \]

3. Угол OBD является частью угла OBC. На рисунке видно, что OB и OD – радиусы, поэтому треугольник OBD – равнобедренный.
4. Угол BOC и угол BOD – смежные углы, если B, O, D лежат на одной прямой. По рисунку, D и C лежат на одной окружности, а OB и OC - радиусы. Угол OBD мы ищем.
5. Так как OB=OC (радиусы), то треугольник BOC - равнобедренный. Угол OBC = угол OCB = (180 - 40) / 2 = 70 градусов.
6. OB=OD (радиусы), значит треугольник OBD - равнобедренный.
7. Угол ODB = угол OBD.
8. Угол BOC = 40 градусов.
9. Угол DOC - развернутый, если B, O, D лежат на одной прямой, но по рисунку это не так.
10. Угол BOC = 40°. Так как OB = OC (радиусы), то

    \[ \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ \]

11. Угол OBD является частью угла OBC.
12. Рассмотрим треугольник OBD. OB = OD (радиусы), поэтому он равнобедренный.
13. Угол ODB = Угол OBD.
14. Угол BOC = 40°. Угол COD + Угол BOC + Угол BOD = 360° (полный оборот), но это не помогает.
15. По условию ∠BOC = 40°. Треугольник BOC равнобедренный (OB=OC=радиус). Значит ∠OBC = ∠OCB = (180° - 40°)/2 = 70°.
16. В равнобедренном треугольнике OBD (OB=OD), ∠ODB = ∠OBD.
17. Угол COD = 180° - ∠BOC = 180° - 40° = 140° (если B, O, D лежат на одной прямой, но это не так).
18. Предполагаем, что угол DOB - центральный угол, соответствующий дуге DB.
19. Если предположить, что точка D и C находятся так, что угол DOB = 180 - 40 = 140 (если B, O, D - прямая), что неверно.
20. По рисунку, угол DOB не является смежным или развернутым.
21. Рассмотрим треугольник OBD. OB=OD (радиусы). Значит, треугольник равнобедренный.
22. Угол ODB = Угол OBD.
23. Угол BOC = 40°.
24. Если угол DOB = 180° - 40° = 140° (предполагаем, что B, O, C лежат на одной прямой, что противоречит рисунку), то 2 * ∠OBD = 180° - 140° = 40°, ∠OBD = 20°.
25. Если угол DOB = 180° - 40° = 140° (предполагаем, что B, O, D образуют прямую), то ∠OBD = (180°-140°)/2 = 20°.
26. Угол BOC = 40°. OB = OC (радиусы). Треугольник BOC равнобедренный. ∠OBC = ∠OCB = (180°-40°)/2 = 70°.
27. Угол OBD является частью угла OBC.
28. Треугольник OBD равнобедренный, так как OB = OD (радиусы).
29. Угол ODB = Угол OBD.
30. Угол BOC = 40°.
31. Предположим, что угол DOB = 180° - 40° = 140°. Тогда ∠OBD = (180° - 140°)/2 = 20°.
32. Правильное решение: Так как OB = OC (радиусы), то треугольник BOC равнобедренный. Угол ∠OBC = ∠OCB = (180° - 40°)/2 = 70°. Так как OB = OD (радиусы), то треугольник OBD равнобедренный. Угол ∠ODB = ∠OBD. Для нахождения ∠OBD нам нужен угол ∠BOD. По рисунку, ∠BOD кажется тупым. Если предположить, что ∠BOD = 180° - 40° = 140° (это верно, если точки C, O, D образуют развернутый угол, или B, O, C образуют развернутый угол), то ∠OBD = (180° - 140°)/2 = 20°.

2. Нахождение отрезка FK:

1. FK – касательная к окружности в точке K. OB – радиус, проведенный к точке касания B.
2. По свойству касательной, радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠FKO = 90°.
3. В прямоугольном треугольнике FKO:
• OK – гипотенуза (радиус окружности, равный 14 см).
• FK – один из катетов.
• ∠FOK = 45°.
4. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

\[ \angle OFK + \angle FOK = 90^\circ \]

\[ \angle OFK + 45^\circ = 90^\circ \]

\[ \angle OFK = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \]

5. Так как ∠FOK = ∠OFK = 45°, то треугольник FKO – равнобедренный прямоугольный треугольник.
6. Следовательно, катеты FK и OK равны.
7. Но OK – это радиус, который равен 14 см.
8. Однако, по условию FK – касательная, а OK – радиус. Значит, OK перпендикулярен FK. ∠OKF = 90°.
9. В прямоугольном треугольнике OKF:
• OK = 14 см (катет, радиус).
• ∠FOK = 45° (дан по условию).
• FK – второй катет, который нужно найти.
10. Используем тангенс угла FOK:

\[ \tan(\angle FOK) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{FK}{OK} \]

\[ \tan(45^\circ) = \frac{FK}{14} \]

11. Так как \( \tan(45^\circ) = 1 \), то:

\[ 1 = \frac{FK}{14} \]

\[ FK = 14 \text{ см} \]

Ответ: 1. ∠OBD = 20°. 2. FK = 14 см.