1. На рисунке AB ∥ CD. а) Докажите, что AO · OC = BO · OD. б) Найдите AB, если BC = 24 см, OB = 9 см, CD = 25 см.

а) Рассмотрим треугольники AOB и DOC. Углы AOB и DOC равны как вертикальные, а ∠ABO = ∠DCO как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD. Значит, треугольники подобны по двум углам.

Из подобия следует \(\dfrac{AO}{OD}=\dfrac{BO}{OC}\). Перемножая крайние и средние члены, получаем \(AO\cdot OC=BO\cdot OD\).

б) Так как точка O лежит на отрезке BC, \(OC=BC-OB=24-9=15\) см.

По подобию треугольников AOB и DOC: \(\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{BO}{OC}\). Тогда \(AB=25\cdot\dfrac{9}{15}=15\) см.

Ответ: а) доказано; б) \(AB=15\) см.