1. На рисунке изображен параллелограмм ABCD. Назовите: а) вектор, коллинеарный вектору AB, AC, BO; б) вектор, сонаправленный вектору CA, AD, OD; в) вектор, противоположно направленный вектору CB, OA, BD; г) вектор, равный вектору AB, AC, BO, OC; д) докажите, что: AO + DC + OD + CB = AC + DA; е) AB − AC = DB − DC.

а) Примеры коллинеарных векторов: DC коллинеарен AB; AO коллинеарен AC; BD коллинеарен BO.

б) CO сонаправлен с CA; BC сонаправлен с AD; BO сонаправлен с OD.

в) AD противоположно направлен CB; OC — OA; OB — BD.

г) DC = AB; AC равен только самому себе среди векторов с концами в обозначенных точках; OD = BO; AO = OC. Для диагонали AC на рисунке нет другого отличного от него равного вектора.

д) Сгруппируем слагаемые, используя правило сложения векторов:

\(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD})+(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}.\)

В правой части \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}\), поэтому исходное равенство в общем случае неверно: его левая часть равна \(\overrightarrow{AB}\), а правая — \(\overrightarrow{DC}\). В параллелограмме \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), следовательно, равенство верно.

е) Заменим вычитание сложением противоположного вектора:

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}.\)

\(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}.\)

Обе части равны \(\overrightarrow{CB}\), значит, равенство доказано.