1. На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта и показаны события А и В. Рёбра проведены пунктиром. Известно, что рёбра, исходящие из одной вершины, равновероятны. Скопируйте рисунок в тетрадь. Расставьте вероятности. Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию В. Найдите вероятность события В. 2. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого — 0,5, для второго — 0,7. Чему равны вероятности следующих событий: А = «хотя бы один из них попадёт»; В = «оба стрелка промахнутся»? 3. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая — 70%. Первая фабрика выпускает 5% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. 4. Сколько существует натуральных трёхзначных чисел, которые начинаются не цифрой 8, и при этом не являются четными? 5. Из 14 пронумерованных белых и 6 пронумерованных красных роз надо составить букет, содержащий 3 белые и 2 красные розы. Сколькими способами можно это сделать? 6. Стрелок в тире пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. С какой вероятностью он первые два раза попадет, а последние три — промахнется? 7. Монету бросают до тех пор, пока не появится орёл. С какой вероятностью придётся сделать: а) больше 4 бросков; б) меньше 6 бросков; в) от 4 до 6 бросков?

Задание 1. Дерево случайного опыта

К сожалению, я не могу скопировать рисунок и расставить вероятности, так как являюсь текстовым помощником. Однако, я могу объяснить, как это сделать, и найти вероятность события В, если вы предоставите мне структуру дерева и вероятности на каждом шаге.

Общий принцип:

1. Скопировать рисунок: Перерисуйте дерево в тетрадь.
2. Расставить вероятности: Для каждого узла (вершины), из которого исходят ребра, назначьте вероятности для каждого ребра так, чтобы их сумма равнялась 1. Если сказано, что рёбра равновероятны, то каждая вероятность равна 1, делённому на количество исходящих рёбер.
3. Обвести цепочки для события В: Найдите на дереве все пути (цепочки рёбер), которые соответствуют событию В, и обведите их сплошной линией.
4. Найти вероятность события В: Вероятность события В равна сумме вероятностей всех путей, благоприятствующих этому событию. Вероятность каждого пути вычисляется как произведение вероятностей рёбер, составляющих этот путь.

Пример: Если событие В соответствует двум путям с вероятностями 0,2 и 0,3, то вероятность события В будет 0,2 + 0,3 = 0,5.

Задание 2. Вероятность попадания стрелков

Обозначим:

• $$P(A_1)$$ — вероятность попадания первого стрелка = 0,5.
• $$P(B_1)$$ — вероятность промаха первого стрелка = $$1 - P(A_1) = 1 - 0,5 = 0,5$$.
• $$P(A_2)$$ — вероятность попадания второго стрелка = 0,7.
• $$P(B_2)$$ — вероятность промаха второго стрелка = $$1 - P(A_2) = 1 - 0,7 = 0,3$$.

Событие А: «хотя бы один из них попадёт».

Проще найти вероятность противоположного события (оба промахнутся) и вычесть её из 1.

Вероятность того, что оба промахнутся: $$P(\text{оба промахнутся}) = P(B_1) \times P(B_2) = 0,5 \times 0,3 = 0,15$$.

Вероятность события А: $$P(A) = 1 - P(\text{оба промахнутся}) = 1 - 0,15 = 0,85$$.

Событие В: «оба стрелка промахнутся».

Эта вероятность уже рассчитана выше: $$P(B) = P(B_1) \times P(B_2) = 0,5 \times 0,3 = 0,15$$.

Ответ: Вероятность события А равна 0,85; вероятность события В равна 0,15.

Задание 3. Вероятность бракованного стекла

Обозначим:

• $$P(Ф1)$$ — вероятность того, что стекло с первой фабрики = 0,3.
• $$P(Ф2)$$ — вероятность того, что стекло со второй фабрики = 0,7.
• $$P(Б|Ф1)$$ — вероятность брака при условии, что стекло с первой фабрики = 0,05 (5%).
• $$P(Б|Ф2)$$ — вероятность брака при условии, что стекло со второй фабрики = 0,04 (4%).

Мы хотим найти общую вероятность брака $$P(Б)$$. Используем формулу полной вероятности:

$$P(Б) = P(Б|Ф1) \times P(Ф1) + P(Б|Ф2) \times P(Ф2)$$

$$P(Б) = (0,05 \times 0,3) + (0,04 \times 0,7)$$

$$P(Б) = 0,015 + 0,028 = 0,043$$

Ответ: Вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным, равна 0,043.

Задание 4. Трёхзначные числа

Ищем трёхзначные числа, которые:

• Не начинаются с цифры 8.
• Не являются чётными.

Разряд сотен: Может быть любая цифра, кроме 0 (число трёхзначное) и 8. Значит, есть 8 вариантов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9).

Разряд десятков: Может быть любая цифра от 0 до 9. Значит, есть 10 вариантов.

Разряд единиц: Число должно быть нечётным, поэтому последняя цифра может быть 1, 3, 5, 7, 9. Значит, есть 5 вариантов.

Чтобы найти общее количество таких чисел, перемножим количество вариантов для каждой позиции:

Количество чисел = (Варианты для сотен) $$\times$$ (Варианты для десятков) $$\times$$ (Варианты для единиц)

Количество чисел = $$8 \times 10 \times 5 = 400$$.

Ответ: Существует 400 таких трёхзначных чисел.

Задание 5. Составление букета из роз

У нас есть:

• 14 белых роз.
• 6 красных роз.

Нужно составить букет из 3 белых и 2 красных роз.

Выбор белых роз: Количество способов выбрать 3 белые розы из 14 равно числу сочетаний $$C_{14}^3$$.

$$C_{14}^3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3!11!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$$.

Выбор красных роз: Количество способов выбрать 2 красные розы из 6 равно числу сочетаний $$C_{6}^2$$.

$$C_{6}^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$.

Общее количество способов составить букет равно произведению количества способов выбрать белые розы и количества способов выбрать красные розы:

Общее количество способов = $$C_{14}^3 \times C_{6}^2 = 364 \times 15 = 5460$$.

Ответ: Букет можно составить 5460 способами.

Задание 6. Вероятность попадания стрелка

Вероятность попадания при одном выстреле $$P(\text{попадание}) = 0,7$$.

Вероятность промаха при одном выстреле $$P(\text{промах}) = 1 - 0,7 = 0,3$$.

Стрелок стреляет 5 раз. Нас интересует вероятность того, что первые два раза он попадет, а последние три — промахнется.

События независимы, поэтому вероятность такого исхода равна произведению вероятностей каждого отдельного события:

$$P(\text{2 попадания, 3 промаха}) = P(\text{попадание})^2 \times P(\text{промах})^3$$

$$P = (0,7)^2 \times (0,3)^3$$

$$P = 0,49 \times 0,027$$

$$P = 0,01323$$

Ответ: Вероятность такого исхода равна 0,01323.

Задание 7. Броски монеты до появления орла

Это задача на геометрическое распределение. Вероятность выпадения орла $$P(\text{орёл}) = 0,5$$. Вероятность выпадения решки $$P(\text{решка}) = 0,5$$.

а) вероятность «больше 4 бросков»

Это значит, что первые 4 броска были решками. Вероятность такого события:

$$P(\text{больше 4 бросков}) = P(\text{решка})^4 = (0,5)^4 = 0,0625$$.

б) вероятность «меньше 6 бросков»

Это значит, что орёл выпал на 1-м, 2-м, 3-м, 4-м или 5-м броске. Проще найти вероятность противоположного события — «6 или больше бросков» (то есть первые 5 бросков — решки) и вычесть её из 1.

$$P(\text{6 или больше бросков}) = P(\text{решка})^5 = (0,5)^5 = 0,03125$$.

$$P(\text{меньше 6 бросков}) = 1 - P(\text{6 или больше бросков}) = 1 - 0,03125 = 0,96875$$.

в) вероятность «от 4 до 6 бросков»

Это значит, что орёл выпал на 4-м, 5-м или 6-м броске. Рассчитаем вероятности для каждого случая:

• 4 броска (первые 3 — решки, 4-й — орёл): $$P(4) = (0,5)^3 \times 0,5 = (0,5)^4 = 0,0625$$.
• 5 бросков (первые 4 — решки, 5-й — орёл): $$P(5) = (0,5)^4 \times 0,5 = (0,5)^5 = 0,03125$$.
• 6 бросков (первые 5 — решки, 6-й — орёл): $$P(6) = (0,5)^5 \times 0,5 = (0,5)^6 = 0,015625$$.

Суммируем эти вероятности:

$$P(\text{от 4 до 6}) = P(4) + P(5) + P(6) = 0,0625 + 0,03125 + 0,015625 = 0,109375$$.

Ответ:

• а) Вероятность больше 4 бросков: 0,0625.
• б) Вероятность меньше 6 бросков: 0,96875.
• в) Вероятность от 4 до 6 бросков: 0,109375.