1. На рисунке изображены графы. Сколько у каждого из них ребер; вершин; изолированных вершин? а) Вершины: A, B, C, D, E. Ребра: {A, D}, {D, E}, {C, B}, {B, C}. Изолированная вершина: E. б) Вершины: 1, 2, 3, 4, 5. Ребра: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,4}, {3,5}. Изолированных вершин нет. в) Вершины: A, B, C, D. Ребра: {A, B}, {A, C}, {A, D}. Изолированных вершин нет. 2. На каких рисунках графы одинаковы? Графы на рисунках а) и б) одинаковы. 3. Изобразите три разных графа, у которых три ребра, четыре вершины. Найдите сумму степеней вершин каждого графа.

1. Анализ графов:

а)

• Вершины: A, B, C, D, E (5 вершин)
• Ребра: {A, D}, {D, E}, {C, B}, {B, C} (4 ребра)
• Изолированные вершины: E (1 изолированная вершина)

б)

• Вершины: 1, 2, 3, 4, 5 (5 вершин)
• Ребра: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 5} (5 ребер)
• Изолированные вершины: Нет

в)

• Вершины: A, B, C, D (4 вершины)
• Ребра: {A, B}, {A, C}, {A, D} (3 ребра)
• Изолированные вершины: Нет

2. Одинаковые графы:

Графы на рисунках а) и б) одинаковы. Они оба имеют 4 вершины и 3 ребра, при этом структура связей между вершинами идентична.

3. Графы с тремя ребрами и четырьмя вершинами:

Существует несколько вариантов таких графов. Вот три примера:

Пример 1:

• Вершины: 4
• Ребра: 3 (например, A-B, B-C, C-D)
• Сумма степеней вершин: 2 + 2 + 2 + 2 = 8

Пример 2:

• Вершины: 4
• Ребра: 3 (например, A-B, A-C, A-D)
• Сумма степеней вершин: 3 + 1 + 1 + 1 = 6

Пример 3:

• Вершины: 4
• Ребра: 3 (например, A-B, B-C, A-C, и вершина D изолирована)
• Сумма степеней вершин: 2 + 2 + 2 + 0 = 6

Важное замечание: Согласно теореме о сумме степеней, сумма степеней вершин любого графа всегда равна удвоенному числу ребер. В данном случае, для графов с 3 ребрами, сумма степеней вершин всегда будет равна $$2 \times 3 = 6$$. Это означает, что пример 1 с суммой степеней 8 не соответствует условию задачи (3 ребра, 4 вершины). Правильные примеры 2 и 3, где сумма степеней равна 6.

Ответ: Сумма степеней вершин в каждом графе равна 6.