1. На рисунке изображён параллелограмм ABCD. Назовите: а) вектор, коллинеарный векторам AB, AC, BO; б) вектор, сонаправленный векторам CA, AD, OD; в) вектор, противоположно направленный векторам CB, OA, BD; г) вектор, равный векторам AB, AC, BO, OC; д) докажите, что: AO + DC + OD + CB = AC + DA; е) AB − AC = DB − DC.

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой O пополам. Используем это свойство и равенство противоположных сторон.

а) Коллинеарные векторы: AB — BA; AC — CA; BO — BD.

б) Сонаправленные векторы: CA — CO; AD — BC; OD — OB.

в) Противоположно направленные векторы: CB — BC; OA — CO; BD — DB.

г) Равные векторы: AB = DC; AC = AC; BO = OD; OC = AO.

д) Сгруппируем слагаемые, используя правило сложения векторов по последовательным точкам:

\(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}\), а \(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\).

Тогда левая часть равна \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}\). В параллелограмме \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Правая часть также равна \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DC}\). Следовательно, части равны.

е) Вычтем векторы как сложение с противоположным:

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\).

Аналогично, \(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}\). Значит, выражения равны.

Ответ: д) и е) доказаны; остальные векторы указаны в соответствующих пунктах.