1. На рисунке MN || AC. а) Докажите, что AB · BN = CB · BM. б) Найдите MN, если AM = 6 см, BM = 8 см, AC = 21 см.

Задание 1. Геометрическая задача

Условие: На рисунке MN || AC.

а) Докажите, что AB · BN = CB · BM.

Для доказательства этого равенства нам нужно рассмотреть подобные треугольники. Из условия известно, что MN || AC. Это означает, что треугольник BMN подобен треугольнику BAC по двум углам (угол B общий, а углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).

Из подобия треугольников BMN и BAC следует:

\[ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \]

Рассмотрим первую часть равенства:

\[ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ BM \cdot BC = BA \cdot BN \]

Или, что то же самое:

\[ AB \cdot BN = CB \cdot BM \]

Что и требовалось доказать.

б) Найдите MN, если AM = 6 см, BM = 8 см, AC = 21 см.

Мы уже установили, что треугольники BMN и BAC подобны. Для нахождения MN нам понадобится коэффициент подобия.

Из условия нам известны длины отрезков AM и BM. Это позволяет найти длину стороны AB:

\[ AB = AM + BM = 6 \text{ см} + 8 \text{ см} = 14 \text{ см} \]

Теперь найдем коэффициент подобия (отношение соответствующих сторон):

\[ k = \frac{BM}{BA} = \frac{8 \text{ см}}{14 \text{ см}} = \frac{4}{7} \]

Теперь используем это отношение для нахождения MN. Отношение MN к AC также равно коэффициенту подобия:

\[ \frac{MN}{AC} = k \]

\[ \frac{MN}{21 \text{ см}} = \frac{4}{7} \]

Выразим MN:

\[ MN = \frac{4}{7} \cdot 21 \text{ см} \]

\[ MN = 4 \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см} \]

Ответ: MN = 12 см.