1. На рисунке: точка A находится вне плоскости α, AA₁ ⟂ α, AA₁ = 8, AC = 20, BC = 12, AC ⟂ BC. Найти x = BA₁.

Так как AA₁ перпендикулярна плоскости α, треугольник AA₁C прямоугольный при A₁. Поэтому

\(A_1C^2=AC^2-AA_1^2=20^2-8^2=336\), значит, \(A_1C=4\sqrt{21}\).

Поскольку BC ⟂ AC, а проекция AC на плоскость — A₁C, по теореме о трёх перпендикулярах BC ⟂ A₁C. Тогда треугольник BCA₁ прямоугольный при C:

\(x^2=BA_1^2=BC^2+A_1C^2=12^2+336=480\), откуда \(x=4\sqrt{30}\).

Ответ: \(4\sqrt{30}\).