№1. На рисунке точка О - центр окружности. Угол ОАВ равен 40°. Найдите угол ВОС.

Решение:

В треугольнике OAB стороны OA и OB являются радиусами окружности, поэтому треугольник OAB равнобедренный. Следовательно, \( \angle OBA = \angle OAB = 40^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Найдем угол AOB:

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \]

Угол AOB является центральным углом, опирающимся на дугу AB. Угол BOC также является центральным углом, но он опирается на дугу BC. Однако, если предположить, что точка C лежит на окружности и угол BOC нужно найти, то без дополнительной информации о положении точки C или углах, связанных с ней, задача не имеет однозначного решения.

Если же вопрос подразумевает, что угол BOC является смежным к углу AOB и линия AOC является прямой, то:

\[ \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \]

Однако, на рисунке угол BOC не выглядит смежным. Если же предположить, что угол AOC - развернутый, и B лежит на окружности, то мы можем найти угол BOC, если знаем, что AB=BC или другие соотношения.

Предположим, что требуется найти угол BOC, где AC - диаметр. Тогда \( \angle ABC = 90^{\circ} \) (угол, вписанный в полуокружность). Тогда в треугольнике ABC, \( \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \). Но это противоречит тому, что OA=OB=OC - радиусы.

Если предположить, что угол AOC - развернутый, то AC - диаметр. Тогда \( \angle ABC = 90^{\circ} \). В треугольнике OAB, OA=OB (радиусы), значит, \( \angle OBA = \angle OAB = 40^{\circ} \). Тогда \( \angle AOB = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 100^{\circ} \). Если AC - диаметр, то \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).

Ответ: 80°.