1. На рисунке угол BOC прямой. Найдите ∠1, если ∠2 = 70°. 2. Точка C – середина отрезка AB, точка D – середина отрезка AC. BD = 15,3см. Найдите длину отрезка AC. Ответ выразите в миллиметрах. 3. Отрезки PE и NM лежат на перпендикулярных прямых и пересекаются в точке K. Внутри угла PKN взята точка A, а внутри угла MKE – точка B. ∠AKH =40°, ∠MKB = 50°. а) Найдите углы РКА и ВКЕ. б) Лежат ли точки А, К, В на одной прямой? Ответ объясните. 4* Расположите шесть отрезков так, чтобы каждый из них имел общие точки ровно с тремя другими и число всех этих точек было равно пяти.

Задание 1. Углы

Дано:

• Угол BOC - прямой, значит \( \angle BOC = 90^\circ \).
• \( \angle 2 = 70^\circ \).

Найти: \( \angle 1 \).

Решение:

1. Угол BOC состоит из двух углов: \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \).
2. Запишем уравнение: \[ \angle 1 + \angle 2 = \angle BOC \]
3. Подставим известные значения: \[ \angle 1 + 70^\circ = 90^\circ \]
4. Вычислим \( \angle 1 \): \[ \angle 1 = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \]

Ответ: \( \angle 1 = 20^\circ \).

Задание 2. Отрезки

Дано:

• Точка C – середина AB.
• Точка D – середина AC.
• BD = 15,3 см.

Найти: длину отрезка AC в миллиметрах.

Решение:

1. Так как C – середина AB, то \( AC = CB \).
2. Так как D – середина AC, то \( AD = DC \).
3. Отрезок BD состоит из отрезков BC и DC: \( BD = BC + DC \).
4. Поскольку \( AC = CB \) и \( DC = \frac{1}{2} AC \), то \( BC = \frac{1}{2} AC \).
5. Подставим это в выражение для BD: \( BD = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AC = AC \).
6. Значит, \( AC = BD = 15,3 \) см.
7. Переведем сантиметры в миллиметры: \( 15,3 \text{ см} \times 10 \frac{\text{мм}}{\text{см}} = 153 \) мм.

Ответ: 153 мм.

Задание 3. Углы и прямая

Дано:

• Отрезки PE и NM перпендикулярны и пересекаются в точке K.
• Точка A внутри \( \angle PKN \).
• Точка B внутри \( \angle MKE \).
• \( \angle AKH = 40^\circ \).
• \( \angle MKB = 50^\circ \).

Найти:

а) \( \angle PKA \) и \( \angle BKE \).

б) Лежат ли точки A, K, B на одной прямой?

Решение:

а) Найдём углы РКА и ВКЕ:

1. Так как PE и NM перпендикулярны, то \( \angle PKM = 90^\circ \) и \( \angle EKN = 90^\circ \).
2. Угол PKN состоит из углов PKA и AKH: \( \angle PKN = \angle PKA + \angle AKH \).
3. Угол PKN - прямой, так как PE перпендикулярен NM: \( \angle PKN = 90^\circ \).
4. Подставим известные значения: \( 90^\circ = \angle PKA + 40^\circ \).
5. Вычислим \( \angle PKA \): \( \angle PKA = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).
6. Угол MKE состоит из углов MKВ и BKE: \( \angle MKE = \angle MKВ + \angle BKE \).
7. Угол MKE - прямой, так как PE перпендикулярен NM: \( \angle MKE = 90^\circ \).
8. Подставим известные значения: \( 90^\circ = 50^\circ + \angle BKE \).
9. Вычислим \( \angle BKE \): \( \angle BKE = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \).

б) Лежат ли точки А, К, В на одной прямой?

1. Точки A, K, B будут лежать на одной прямой, если угол AKB будет развёрнутым (\( 180^\circ \)).
2. Угол AKB состоит из углов AKH, HKE и EKB.
3. Найдем \( \angle HKE \). Так как PE и NM перпендикулярны, \( \angle HKM = 90^\circ \). Угол HKM состоит из углов HKA и AKM.
4. \( \angle HKE \) является вертикальным углом к \( \angle PKM \), поэтому \( \angle HKE = 90^\circ \).
5. \( \angle AKB = \angle AKH + \angle HKE + \angle EKB = 40^\circ + 90^\circ + 40^\circ = 170^\circ \).
6. Так как \( \angle AKB = 170^\circ \) (не \( 180^\circ \)), точки A, K, B не лежат на одной прямой.

Ответ: а) \( \angle PKA = 50^\circ \), \( \angle BKE = 40^\circ \). б) Нет, не лежат.

Задание 4. Отрезки

Эта задача является комбинаторной и не имеет единственного числового или графического решения. Она требует построения конкретной конфигурации отрезков. Одна из возможных конфигураций, удовлетворяющая условию:

Представим точки как вершины и отрезки как ребра графа. Нам нужен граф, где у каждой вершины (точки) степень равна 3 (соединена с тремя другими), и общее число вершин равно 5. Такой граф называется полным графом \( K_5 \) с усечением одной вершины, но это не совсем точно. Задача требует, чтобы каждый из 6 отрезков имел общие точки ровно с 3 другими отрезками.

Рассмотрим 5 точек: A, B, C, D, E.

Отрезки:

• AB
• AC
• AD
• BC
• BD
• CD

Проверим условие: каждый отрезок имеет общие точки с тремя другими.

1. AB: имеет общие точки с AC (A), AD (A), BC (B). Таким образом, AB имеет 3 общие точки.
2. AC: имеет общие точки с AB (A), AD (A), CD (C). Таким образом, AC имеет 3 общие точки.
3. AD: имеет общие точки с AB (A), AC (A), BD (D). Таким образом, AD имеет 3 общие точки.
4. BC: имеет общие точки с AB (B), CD (C), BD (B). Таким образом, BC имеет 3 общие точки.
5. BD: имеет общие точки с AB (B), AD (D), CD (D). Таким образом, BD имеет 3 общие точки.
6. CD: имеет общие точки с AC (C), BC (C), BD (D). Таким образом, CD имеет 3 общие точки.

Условие выполнено. Число точек — 5.

Ответ: Такое расположение возможно. Например, можно взять 5 точек и соединить их отрезками так, чтобы получился полный граф K5. Тогда каждый отрезок (ребро) будет иметь общие точки с тремя другими отрезками (рёбрами, имеющими общую вершину).