1. На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки P, M, E и K так, что AP = BM = CE = DK = 6 см, ∠BMP = 60°. Чему равен периметр четырёхугольника PMEK?

Обозначим сторону квадрата через \(a\). Тогда \(MB=6\) см. Угол между лучами \(MB\) и \(MP\) равен \(60^\circ\).

1. В треугольнике \(BMP\) известны \(BM=6\) см и \(BP=AB-AP=a-6\). По теореме косинусов:
   \(BP^2=BM^2+MP^2-2\cdot BM\cdot MP\cos60^\circ\). Чтобы найти сторону квадрата, удобнее заметить, что угол между \(MB\) и \(MP\) равен \(60^\circ\), а проекция \(MP\) на направление \(MB\) составляет половину \(MP\). Вертикальная составляющая \(MP\) равна \(BM=6\), поэтому \(MP=12\) см.
2. Горизонтальная составляющая \(MP\) равна \(12\sin60^\circ=6\sqrt3\) см. Она совпадает с \(BP=a-6\), значит \(a=6+6\sqrt3\) см.
3. Для каждой из сторон четырёхугольника, например \(ME\), горизонтальная составляющая равна 6 см, а вертикальная — \(a-6=6\sqrt3\) см. Поэтому \(ME=\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=12\) см. Аналогично \(EK=KP=12\) см.
4. Тогда \(P_{PMEK}=4\cdot12=48\) см.

Ответ: 48 см.