1. На сторонах угла с вершиной О взяты точки А и В так, что ОА = ОВ. На отрезке ОВ отмечена точка С, а на отрезке OA — точка D. Известно, что ∠OAC = ∠OBD. Докажите, что ∠ADB = ∠BCA.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle OAC \) и \( \triangle OBD \).
2. По условию \( OA = OB \).
3. Угол \( \angle AOB \) — общий для обоих треугольников.
4. По условию \( \angle OAC = \angle OBD \).
5. По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне), \( \triangle OAC = \triangle OBD \).
6. Из равенства треугольников следует, что \( OC = OD \) и \( \angle OCA = \angle ODB \).
7. Рассмотрим треугольники \( \triangle ADB \) и \( \triangle BCA \).
8. Угол \( \angle DAB = \angle CBA \) (это углы \( \angle OAC \) и \( \angle OBD \) соответственно, что следует из равенства \( \triangle OAC = \triangle OBD \)).
9. Сторона \( AB \) — общая.
10. Сторона \( AD = OA - OD \) и \( BC = OB - OC \). Так как \( OA = OB \) и \( OD = OC \), то \( AD = BC \).
11. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ADB = \triangle BCA \).
12. Из равенства треугольников следует, что \( \angle ADB = \angle BCA \).

Доказано.