1. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P такая, что CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BP}\), \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{BC}=\mathbf b\). Возьмём точку A за начало координат. Тогда B имеет радиус-вектор \(\mathbf a\), C — \(\mathbf a+\mathbf b\), D — \(\mathbf b\).

1. O — середина диагонали AC, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\mathbf a+\mathbf b)\). Следовательно, \(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=\frac12(\mathbf b-\mathbf a)\).
2. P — середина CD, поэтому \(\overrightarrow{AP}=\frac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac12\mathbf a+\mathbf b\). Тогда \(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\frac12\mathbf a\).
3. \(\overrightarrow{PA}= -\overrightarrow{AP}=-\frac12\mathbf a-\mathbf b\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})\), \(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC}-\frac12\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{PA}=-\frac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\).