1. На стороне OH треугольника ROH отметили точку P и провели через неё две прямые: одна из них параллельна RH и пересекает сторону RO в точке X, а другая параллельна RO и пересекает сторону RH в точке T. Докажите, что если RP — биссектриса треугольника, то RP ⟂ XT.

1. Из подобия треугольников OXP и OHR, поскольку XP ∥ RH, получаем: OX/OR = OP/OH. Поэтому RX = RO − OX = RO · PH/OH.

2. Из подобия треугольников HTP и HOR, поскольку PT ∥ RO, получаем: HT/HR = HP/HO. Поэтому RT = RH − HT = RH · OP/OH.

3. По теореме о биссектрисе RP: OP/PH = RO/RH, откуда RO · PH = RH · OP. Следовательно, RX = RT.

4. Значит, треугольник RXT равнобедренный с вершиной R. Так как RX лежит на RO, а RT — на RH, прямая RP является биссектрисой угла XRT. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине перпендикулярна основанию.

Ответ: RP ⟂ XT.