1. Начертите 5 попарно неколлинеарных векторов a, b, c, d, е. Постройте вектор a+b+c+d+e. 2. Упростите выражение: A) PQ + EF + AE + QA 6) CB - CA - MK + BD - KD B)( AB + BC - DC) + (DK - MK) 3. Найдите вектор х из условия: a) CK + x = CE 6) (AP+x)+ PC = AL 4. Начертите 2 неколлинеарных вектора а, b. Постройте вектор 1/2 a + 3y. 5. Диагонали ромба ABCD равны 10 и 24. Найдите величину |BC - DA + AD - CD|.

Задание 1

Чтобы выполнить это задание, тебе нужно будет начертить 5 векторов, которые не лежат на одной прямой. Затем, чтобы построить их сумму, ты можешь использовать метод «веер» или «цепочка»: первый вектор рисуешь, от конца первого начинаешь второй, от конца второго — третий и так далее. Конечная точка последнего вектора будет началом первого. Получится замкнутая фигура.

Задание 2. Упрощение выражений

A) Травие выражения:

• \[ ТР + ТФ + ТЕ + ТА = (ТР + РФ) + (ТЕ + ЕА) = ТФ + ТА \]

Б) Векторные вычитания:

• \[ СВ - СА - МК + БД - КД = (СВ - СА) + (БД - КД) - МК \]
• \[ = АВ + (БД - КД) - МК \]

В) Сумма векторов:

• \[ (АБ + БВ) - ДС + (ДК - МК) = АВ - ДС + ДМ \]
• \[ = АВ - ДС + ДМ \]

Задание 3. Поиск вектора x

А) Найди вектор x:

• \[ СК + x = СЕ \]
• \[ x = СЕ - СК \]
• \[ x = КЕ \]

Б) Найди вектор x:

• \[ (АР} + x) + РС = АЛ \]
• \[ АР} + x + РС = АЛ \]
• \[ (АР} + РС) + x = АЛ \]
• \[ АС} + x = АЛ \]
• \[ x = АЛ - АС \]
• \[ x = СЛ \]

Задание 4

Тебе нужно начертить два вектора q и s, которые не параллельны. Затем, чтобы построить вектор q/2 q + 3s, нужно:

1. Найти вектор q/2 q, который будет в два раза короче вектора q и будет иметь то же направление.
2. Найти вектор 3s, который будет в три раза длиннее вектора s и будет иметь то же направление.
3. Сложить полученные векторы, как в первом задании.

Задание 5. Величина вектора в ромбе

Дано:

• Ромб ABCD.
• Диагонали равны 10 и 24.

Найти:

• \[ |{ВС} - ДА + АД - СД| \]

Решение:

1. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
2. Найдем длину стороны ромба по теореме Пифагора. Пусть диагонали пересекаются в точке О. Тогда \( AO = OC = 10/2 = 5 \) и \( BO = OD = 24/2 = 12 \).
3. Сторона ромба \( AB = √(AO^2 + BO^2) = √(5^2 + 12^2) = √(25 + 144) = √169 = 13 \).
4. Теперь упростим выражение под модулем:
5. \[ {ВС} - ДА + АД - СД \]
6. По свойству вычитания векторов: \( {ВС} - ДА = {ВС} + АД \)
7. \[ = {ВС} + АД + АД - СД \]
8. \[ = {ВС} + 2АД - СД \]
9. Векторы \( {ВС} \) и \( {АД} \) параллельны и равны по длине (сторона ромба), но противоположны по направлению. \( {ВС} = - {АД} \)
10. \[ = - {АД} + 2АД - СД \]
11. \[ = АД - СД \]
12. \[ = АД + ДС \]
13. \[ = АС \]
14. Длина вектора \( {АС} \) равна стороне ромба, то есть 13.

Ответ: 13.