1. Начертите параллелограмм АВСD. Постройте образ этого параллелограмма при: а) симметрии относительно точки D; б) симметрии относительно прямой CD; в) параллельном переносе на вектор BD; г) повороте вокруг точки А на 45° против часовой стрелки. 2. Докажите, что прямая, содержащая середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей.

json { "answers": [ { "question": "1. Начертите параллелограмм АВСD. Постройте образ этого параллелограмма при:
a) симметрии относительно точки D;
б) симметрии относительно прямой CD;
в) параллельном переносе на вектор BD;
г) повороте вокруг точки А на 45° против часовой стрелки.
2. Докажите, что прямая, содержащая середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей.", "answer": "

1. Построение образа параллелограмма ABCD:

1. а) Симметрия относительно точки D:
   • Точка A перейдет в точку A', такую что D - середина отрезка AA'.
   • Точка B перейдет в точку B', такую что D - середина отрезка BB'.
   • Точка C перейдет в точку C', такую что D - середина отрезка CC'.
   • Образом параллелограмма ABCD будет параллелограмм A'B'C'D.
2. б) Симметрия относительно прямой CD:
   • Точка A перейдет в точку A'', симметричную A относительно прямой CD.
   • Точка B перейдет в точку B'', симметричную B относительно прямой CD.
   • Образом параллелограмма ABCD будет параллелограмм A''B''CD.
3. в) Параллельный перенос на вектор BD:
   • Точка A перейдет в точку A''', такую что \(\vec{A'A'''} = \vec{BD}\).
   • Точка C перейдет в точку C''', такую что \(\vec{CC'''} = \vec{BD}\).
   • Образом параллелограмма ABCD будет параллелограмм A'''BC'''D.
4. г) Поворот вокруг точки A на 45° против часовой стрелки:
   • Точка B перейдет в точку B''' путем поворота вокруг A на 45° против часовой стрелки.
   • Точка D перейдет в точку D''' путем поворота вокруг A на 45° против часовой стрелки.
   • Образом параллелограмма ABCD будет параллелограмм AB'''D'''.

2. Доказательство:

Пусть дан параллелограмм ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Точка O является серединой каждой из диагоналей.

Рассмотрим середины противоположных сторон: AB, BC, CD, DA.

Пусть M - середина AB, N - середина CD. Так как ABCD - параллелограмм, то AB || CD и AB = CD. Следовательно, MN соединяет середины параллельных равных сторон. Вектор \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}\) и \(\vec{DN} = \frac{1}{2}\vec{DC}\). Так как \(\vec{AB} = \vec{DC}\), то \(\vec{AM} = \vec{DN}\). Это означает, что AMND - параллелограмм. Значит, MN || AD || BC.

Пусть P - середина BC, Q - середина DA. Аналогично, PQ соединяет середины противоположных сторон BC и DA. PQ || AB || CD.

Рассмотрим прямую, содержащую середины сторон AB и CD (прямая MN). Эта прямая проходит через середину диагонали BD (точка O, так как O - середина BD). Также эта прямая проходит через середину диагонали AC (точка O, если M и N симметричны относительно O).

Рассмотрим прямую, содержащую середины сторон BC и DA (прямая PQ). Эта прямая проходит через середину диагонали AC (точка O). Также эта прямая проходит через середину диагонали BD (точка O, если P и Q симметричны относительно O).

Таким образом, прямая MN и прямая PQ обе проходят через точку O - середину диагоналей. Следовательно, прямая, содержащая середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей.