1. («Надежда энергетики», 2024, отбор, 6.1) В стране Роботилии прошёл первый конкурс красоты среди роботов. В финал вышли 4 робота. Жюри оценивало самых красивых (по их мнению, конечно) роботов цифрой 1, а остальных, которые понравились им меньше, — нулём. Никто из роботов-финалистов не остался без оценки. Известно, что никакие два члена жюри не присудили единички одному и тому же набору роботов. Каким могло быть наибольшее количество членов жюри?

Решение:

В финале участвуют 4 робота. Каждый член жюри оценивает роботов, ставя им оценку 1 (самый красивый) или 0 (остальные). Поскольку никто из роботов не остался без оценки, это означает, что каждый член жюри присудил единичку какому-то роботу.

Количество роботов, получивших оценку 1 от каждого члена жюри, может быть различным. Рассмотрим возможные варианты оценок каждого члена жюри:

• Вариант 1: Один робот получил 1, остальные 0.
• Вариант 2: Два робота получили 1, остальные 0.
• Вариант 3: Три робота получили 1, остальные 0.
• Вариант 4: Четыре робота получили 1, остальные 0.

Условие гласит, что никакие два члена жюри не присудили единички одному и тому же набору роботов. Это означает, что комбинации единичек у разных членов жюри должны быть уникальными.

Поскольку всего 4 робота, то максимальное количество уникальных наборов, которые могут получить оценку 1, равно количеству подмножеств из 4 элементов. Однако, члены жюри присуждают единичку одному или нескольким роботам. Таким образом, нам нужно найти максимальное количество уникальных наборов роботов, которым может быть присвоена оценка 1.

Количество возможных наборов роботов, которым может быть присуждена оценка 1, равно количеству непустых подмножеств из 4 элементов. Количество подмножеств из 4 элементов равно \( 2^4 = 16 \). Из них 1 подмножество — пустое (когда никому не присудили 1), и 1 подмножество — когда всем присудили 1.

Следовательно, количество непустых подмножеств равно \( 2^4 - 1 = 15 \). Таким образом, может быть до 15 различных наборов роботов, которым присуждается оценка 1.

Но это не совсем так. Каждый член жюри оценивает НАИБОЛЕЕ красивых роботов. Это означает, что каждому члену жюри нужно выбрать, кому он ставит "1".

Рассмотрим, какие наборы могут получить оценку "1":

• Только один робот: Есть 4 способа выбрать одного робота.
• Два робота: Есть \( \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \) способов выбрать двух роботов.
• Три робота: Есть \( \binom{4}{3} = 4 \) способа выбрать трех роботов.
• Четыре робота: Есть \( \binom{4}{4} = 1 \) способ выбрать всех четырех роботов.

Общее количество уникальных наборов, которым может быть присуждена оценка 1, равно сумме этих возможностей:

\( 4 + 6 + 4 + 1 = 15 \)

Каждый член жюри должен выбрать один из этих 15 уникальных наборов, чтобы поставить оценку 1. Таким образом, максимальное количество членов жюри может быть равно количеству этих уникальных наборов.

Ответ: 15