1) Наложим треугольник В₁С₁Н₁ на треугольник ..., совместилась с вершиной ..., вершина С₁ — с вершиной ..., а вершины ... лежали по одну ... от прямой ВС. 2) Так как ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁, то сторона В₁Н₁ наложится на луч ..., а сторона С₁Н₁ — на луч .... Поэтому точка Н₁ — общая точка сторон В₁Н₁ и С₁Н₁, т. е. совпадёт с вершиной ... треугольника ВСН. Значит, совместятся стороны ВН и ..., СН и .... Итак, треугольники ΔBCH и ΔB₁C₁H₁ ... полностью совместятся, следовательно, ... . Теорема доказана.

Решение:

1) Наложим треугольник B₁C₁H₁ на треугольник ABC, чтобы вершина B₁ совместилась с вершиной B, вершина С₁ — с вершиной C, а вершины H₁ и C лежали по одну сторону от прямой ВС.

2) Так как ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁, то сторона B₁H₁ наложится на луч BH, а сторона C₁H₁ — на луч CH. Поэтому точка Н₁ — общая точка сторон B₁H₁ и C₁H₁, т. е. совпадёт с вершиной H треугольника ВСН. Значит, совместятся стороны BH и B₁H₁, CH и C₁H₁. Итак, треугольники ΔBCH и ΔB₁C₁H₁ полностью совместятся, следовательно, ΔBCH = ΔB₁C₁H₁.

Теорема доказана.