1. Нарисуйте: 1) различные по форме сечения треугольной призмы; 2) различные по форме сечения параллелепипеда; 3) многогранник, получающийся при пересечении двух правильных треугольных пирамид, расположенных симметрично друг другу относительно середины высоты пирамиды. Докажите, что он является параллелепипедом; 4) сечение прямоугольного параллелепипеда с разными рёбрами, которое имело бы форму квадрата.

1.1. Сечения треугольной призмы. Плоскость может пересечь три боковые грани, две боковые грани и основания или все три боковые грани. Ниже показаны три возможных типа сечения: треугольник, четырёхугольник и пятиугольник.

Для пятиугольного сечения плоскость проводят так, чтобы она пересекала пять рёбер призмы; форма сечения определяется точками пересечения этих рёбер.

1.2. Сечения параллелепипеда. Возможны, например, треугольные, четырёхугольные и шестиугольные сечения: число сторон зависит от того, какие рёбра и грани пересекает секущая плоскость.

1.3. Пересечение пирамид. Если пирамиды расположены как зеркальные копии относительно плоскости, проходящей через середину их высот, то их общая часть — параллелепипед. На схеме показан его вид в перспективе.

Доказательство: симметрия относительно середины высоты переводит вершины одной пирамиды в соответствующие вершины другой. Грани их общей части лежат в плоскостях, параллельных попарно; противоположные грани равны. Следовательно, общая часть — параллелепипед.

1.4. Квадратное сечение прямоугольного параллелепипеда. Пусть его рёбра равны a, b, c, причём они попарно различны. Сечение плоскостью, параллельной грани со сторонами a и b, имеет форму прямоугольника со сторонами a и b, а значит, не может быть квадратом. Для сечения, наклонённого к граням, квадрат возможен, если параметры параллелепипеда позволяют выбрать равные стороны сечения; например, для рёбер 1, 2 и 3 можно провести плоскость, дающую квадрат со стороной √5, пересекающий пары противоположных рёбер.