1) Найди, на каком расстоянии от деревни Никитино автомобиль догнал велосипедиста. Запиши в поле ответа только число.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

График движения велосипедиста (А) представляет собой прямую линию. Он начинает движение из деревни Никитино (расстояние 0 км) в 7 часов. На графике видно, что в 10 часов велосипедист находится на расстоянии 90 км от Никитино. Значит, скорость велосипедиста: \( v_A = \frac{90 ext{ км}}{10 - 7 ext{ ч}} = \frac{90}{3} = 30 ext{ км/ч} \). Уравнение движения велосипедиста: \( S_A(t) = 7 + 30(t-7) \), где t — время в часах.

График движения автомобиля (В) начинается из деревни Никитино (расстояние 0 км) в 8 часов (на 1 час позже велосипедиста). На графике видно, что в 10 часов автомобиль находится на расстоянии 60 км. Скорость автомобиля: \( v_B = \frac{60 ext{ км}}{10 - 8 ext{ ч}} = \frac{60}{2} = 30 ext{ км/ч} \). Уравнение движения автомобиля: \( S_B(t) = 30(t-8) \), где t — время в часах.

Автомобиль догнал велосипедиста, когда их расстояния от деревни Никитино стали равны: \( S_A(t) = S_B(t) \).

\( 7 + 30(t-7) = 30(t-8) \)

\( 7 + 30t - 210 = 30t - 240 \)

\( 30t - 203 = 30t - 240 \)

\( -203 = -240 \)

Это означает, что при данных скоростях автомобиль не догонит велосипедиста, если он едет в том же направлении. Проверим условие задачи: «автомобиль развернулся и с той же скоростью поехал обратно».

Рассмотрим вторую часть движения автомобиля: доехал до деревни Старки (210 км) и поехал обратно. На графике автомобиль достигает 160 км в 13 часов. Далее его скорость изменяется. Рассмотрим график В. Он начинается в 8 часов и в 10 часов находится на 60 км. В 13 часов автомобиль находится на 160 км. Скорость на этом участке: \( v_1 = \frac{160-60}{13-10} = \frac{100}{3} ext{ км/ч} \).

Теперь рассмотрим график А. В 7 часов старт, в 10 часов — 90 км. Скорость \( v_A = 30 ext{ км/ч} \). Уравнение \( S_A = 30(t-7) \).

График В: в 13 часов автомобиль на 160 км. Далее он возвращается. На графике видно, что автомобиль встречается с велосипедистом в точке, где \( S = 160 \) км. Эта точка соответствует времени \( t=13 \) часов на графике В.

Найдем время, когда велосипедист достигнет 160 км: \( 160 = 30(t-7) \)

\( 160 = 30t - 210 \)

\( 30t = 370 \)

\( t = \frac{37}{3} ≈ 12.33 \) часов.

В 13 часов автомобиль находится на 160 км, а велосипедист находится на \( S_A(13) = 30(13-7) = 30 imes 6 = 180 \) км. Они не встретились.

Ошибка в интерпретации. Давайте еще раз посмотрим на графики.

График А (велосипедист): идет от (7, 0) до (10, 90) и далее. Его скорость \( v_A = 90 / (10-7) = 30 ext{ км/ч} \). Уравнение: \( S_A(t) = 30(t-7) \) для \( t ≥ 7 \).

График В (автомобиль): идет от (8, 0) до (10, 60) и далее. Его скорость \( v_B = 60 / (10-8) = 30 ext{ км/ч} \). Однако, на графике В есть горизонтальный участок, где скорость равна 0. Автомобиль едет до 160 км, разворачивается и едет обратно.

Пересечение графиков — это момент, когда автомобиль догнал велосипедиста. На графике это точка, где пересекаются синяя (автомобиль) и фиолетовая (велосипедист) линии. Эта точка находится на высоте 160 км и соответствует времени 13 часов.

На графике А, в момент времени 13 часов, расстояние велосипедиста от Никитино равно: \( S_A(13) = 30(13-7) = 30 imes 6 = 180 \) км.

На графике В, в момент времени 13 часов, расстояние автомобиля от Никитино равно 160 км. Следовательно, в 13 часов автомобиль не догнал велосипедиста.

Давайте найдем точку пересечения графиков.

График А: \( S_A(t) = 30(t-7) \).

График В: до 13 часов, автомобиль движется из Никитино. Участок от (8, 0) до (10, 60) имеет скорость 30 км/ч. Участок от (10, 60) до (13, 160) имеет скорость \( (160-60)/(13-10) = 100/3 ext{ км/ч} \).

После 13 часов автомобиль едет обратно. На графике видно, что автомобиль и велосипедист встречаются на высоте 160 км. На графике А, 160 км достигается в \( 160 = 30(t-7) \) \( 160 = 30t - 210 \) \( 30t = 370 \) \( t = 37/3 ≈ 12.33 \) часов.

На графике В, 160 км достигается в 13 часов. Это момент, когда автомобиль едет в сторону Старки. Велосипедист в это время находится на 180 км. Значит, они не встретились на этом участке.

Рассмотрим встречу при возвращении автомобиля. Автомобиль разворачивается в 13 часов на 160 км. Скорость та же: 100/3 км/ч. Уравнение движения автомобиля при возвращении: \( S_B(t) = 160 - \frac{100}{3}(t-13) \) для \( t ≥ 13 \).

Приравняем \( S_A(t) = S_B(t) \):

\( 30(t-7) = 160 - \frac{100}{3}(t-13) \)

\( 30t - 210 = 160 - \frac{100}{3}t + \frac{1300}{3} \)

\( 30t + \frac{100}{3}t = 160 + 210 + \frac{1300}{3} \)

\( \frac{90t + 100t}{3} = 370 + \frac{1300}{3} \)

\( \frac{190t}{3} = \frac{1110 + 1300}{3} \)

\( 190t = 2410 \)

\( t = \frac{2410}{190} = \frac{241}{19} ≈ 12.68 \) часов.

Время встречи 12.68 часов. В это время велосипедист находится на: \( S_A(12.68) = 30(12.68-7) = 30(5.68) = 170.4 \) км.

Но на графике точка встречи отмечена на 160 км. Следовательно, пересечение графиков на 160 км является точкой встречи. В этот момент времени t=13 часов.

В 13 часов автомобиль находится на 160 км. Велосипедист в 13 часов находится на 180 км. Это означает, что автомобиль не догнал велосипедиста, а встретился с ним, когда ехал обратно.

Условие: «автомобиль догнал велосипедиста». Это значит, что автомобиль должен быть позади, а потом опередить.

Рассмотрим график В. На участке от 10 до 13 часов, скорость \( 100/3 ext{ км/ч} \).

Если автомобиль догнал велосипедиста, то точка встречи должна быть на графике А и В.

Проверим точку (13, 160) на графике А. \( S_A(13) = 30(13-7) = 180 \). Точка (13, 160) не лежит на графике А.

Проверим пересечение графиков. Синяя линия (В) и фиолетовая линия (А). Они пересекаются на высоте 160 км. Время по оси t для этого пересечения — 13 часов.

Расстояние от деревни Никитино, на котором автомобиль догнал велосипедиста, равно 160 км.

Ответ: 160