1. Найди площадь треугольника: а) основание 10, высота 4; б) основание разделено высотой на отрезки 7 и 13, угол при левом конце основания равен 45°; в) прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12; г) основание 20, сторона 16 образует с основанием угол 30°; д) прямоугольный треугольник: гипотенуза 20, сторона 8, угол при основании 60°; е) прямоугольный треугольник: катет 10, острый угол 45°.

1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \(S=\frac{1}{2}ah\).

   а) \(S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot4=20\).

2. б) Левая часть образует прямоугольный треугольник с углом 45°, поэтому его катеты равны: высота равна 7. Полное основание: \(7+13=20\). Тогда \(S=\frac{1}{2}\cdot20\cdot7=70\).

3. в) У прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения катетов: \(S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot12=30\).

4. г) Высота равна \(16\sin30^\circ=8\). Поэтому \(S=\frac{1}{2}\cdot20\cdot8=80\).

5. д) Данные на рисунке противоречат друг другу: если гипотенуза равна 20, а угол равен 60°, катет напротив этого угла должен быть \(20\sin60^\circ=10\sqrt{3}\), а не 8. Если использовать стороны 8 и 20, площадь была бы \(16\sqrt{21}\); если использовать сторону 8 и угол 60°, площадь была бы \(\frac{32\sqrt{3}}{3}\). Единой площади, удовлетворяющей всем указанным данным, нет.

6. е) Второй острый угол тоже равен 45°, значит катеты равны и второй катет равен 10. Тогда \(S=\frac{1}{2}\cdot10\cdot10=50\).

Ответ: а) 20; б) 70; в) 30; г) 80; д) данные противоречивы; е) 50.