1. Найди значение других трех основных тригонометрических функций, если: a). cosa = 5/13, 3π/2 < α < 2π б). tga = 2, π < α < 3π/2

Решение:

а) cos α = 5/13, 3π/2 < α < 2π

1. Находим sin α. Так как α находится в 4-й четверти, sin α будет отрицательным.
2. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).
3. \( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \).
4. \( \sin\alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \) (знак минус, так как α в 4-й четверти).
5. Находим tg α: \( \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5} \).
6. Находим ctg α: \( \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12} \).

б) tg α = 2, π < α < 3π/2

1. Находим sin α и cos α. Так как α находится в 3-й четверти, sin α и cos α будут отрицательными.
2. Используем тождество \( 1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \).
3. \( 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \).
4. \( \cos^2\alpha = \frac{1}{5} \).
5. \( \cos\alpha = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} \) (знак минус, так как α в 3-й четверти).
6. Находим sin α: \( \text{sin}\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \).
7. Находим ctg α: \( \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{2} \).

Ответ: а) sin α = -12/13, tg α = -12/5, ctg α = -5/12; б) sin α = -2√5/5, cos α = -√5/5, ctg α = 1/2.