1. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Решение:

Угол \( \angle DEF \) является вписанным в окружность. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, который опирается на ту же дугу, или половине величины дуги, на которую он опирается.

Угол \( \angle DEF \) опирается на дугу \( DF \).

Градусная мера дуги \( DF \) равна сумме градусных мер дуг \( DE \) и \( EF \), если точка E находится между D и F на дуге, или разности, если D и F — концы дуги, а E — другая точка. По условию, углу \( \angle DEF \) соответствуют дуги \( DE \) и \( EF \), а не \( DF \).

Из рисунка видно, что угол \( \angle DEF \) опирается на дугу \( DF \), которая состоит из дуги \( DE \) и дуги \( EF \), если смотреть по часовой стрелке от D до F. Однако, угол \( \angle DEF \) как вписанный угол опирается на дугу, которая не содержит точку E. Следовательно, \( \).

На рисунке угол \( \) опирается на дугу \( \). Величина этой дуги равна \( 360^ - 150^ - 68^ \), если \( DE \) и \( EF \) — это меньшие дуги. Если \( DE \) и \( EF \) — это дуги, то \( \) опирается на дугу \( DF \).

Если \( DE = 150^ \) и \( EF = 68^ \), то дуга \( DF \) (большая) = \( 150^ + 68^ \) = \( 218^ \). Угол \( \) тогда опирается на дугу \( \), которая равна \( 360^ - 218^ \) = \( 142^ \). Тогда \( = 142^ / 2 = 71^ \).

Предполагая, что \( DE \) и \( EF \) — это дуги, на которые опирается угол \( \) и другая часть окружности, то дуга \( DF \) = \( 360^ - 150^ - 68^ \) = \( 142^ \). Вписанный угол \( \) опирается на дугу \( DF \), поэтому \( = \frac{1}{2} \text{arc}DF \) = \( \frac{1}{2} \times 142^ \) = \( 71^ \).

Если \( \) — вписанный угол, то он равен половине дуги, на которую опирается. На рисунке угол \( \) опирается на дугу \( \). Дуга \( \) = \( 360^ - 150^ - 68^ \) = \( 142^ \).

Следовательно, \( = \frac{142^}{2} = 71^ \).

Ответ: 71°.