1. Найдите длину вектора АВ, если А(-1; 1; -1) и В(-1; 1; 1) 2. При каком значении к векторы а (6; 0; 12) и в (-8; 13; κ) перпендикулярны? 3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4 см. Высота призмы 10 см. Найдите площадь полной поверхности,

1. Длина вектора АВ

Чтобы найти длину вектора АВ, нужно найти координаты вектора, вычитая координаты точки А из координат точки В, а затем вычислить длину вектора по формуле:

\[ \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \]

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]

Подставим координаты точек А(-1; 1; -1) и В(-1; 1; 1):

\[ \vec{AB} = (-1 - (-1); 1 - 1; 1 - (-1)) = (0; 0; 2) \]

Теперь найдем длину вектора:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = \sqrt{4} = 2 \]

Ответ: 2

2. Значение к для перпендикулярных векторов

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]

Скалярное произведение векторов $$\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$$ и $$\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$$ вычисляется как:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \]

Даны векторы $$\vec{a} = (6; 0; 12)$$ и $$\vec{b} = (-8; 13; \kappa)$$.

Подставим значения:

\[ (6)(-8) + (0)(13) + (12)(\kappa) = 0 \]

\[ -48 + 0 + 12\kappa = 0 \]

\[ 12\kappa = 48 \]

\[ \kappa = \frac{48}{12} \]

\[ \kappa = 4 \]

Ответ: 4

3. Площадь полной поверхности прямой треугольной призмы

Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Высота призмы - 10 см.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площадей боковых граней.

\[ S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \]

1. Площадь основания (прямоугольного треугольника):

\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times катет_1 \times катет_2 \]

\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2 \]

2. Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы.

\[ S_{бок} = P_{осн} \times H \]

Сначала найдем гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

\[ c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]

\[ c = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]

Периметр основания:

\[ P_{осн} = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 12 \text{ см} \]

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = 12 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 120 \text{ см}^2 \]

3. Площадь полной поверхности:

\[ S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \]

\[ S_{полн} = 2 \times 6 \text{ см}^2 + 120 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2 + 120 \text{ см}^2 = 132 \text{ см}^2 \]

Ответ: 132 см²